Theorem 0ltat 38763

Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ltat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
0ltat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
0ltat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0ltat	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		0ltat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 38656	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6		0ltat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 6	atbase 38761	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2728	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	3, 9, 6	atcvr0 38760	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
11		0ltat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11, 9	cvrlt 38742	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 < 𝑃)
13	1, 5, 8, 10, 12	syl31anc 1371	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  ltcplt 18299  0.cp0 18414  OPcops 38644   ⋖ ccvr 38734  Atomscatm 38735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-glb 18338  df-p0 18416  df-oposet 38648  df-covers 38738  df-ats 38739

This theorem is referenced by:  2atm2atN  39258  dia2dimlem2  40538  dia2dimlem3  40539