Theorem 0ltat 40164

Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ltat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
0ltat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
0ltat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0ltat	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		0ltat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 40057	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6		0ltat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 6	atbase 40162	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	3, 9, 6	atcvr0 40161	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
11		0ltat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11, 9	cvrlt 40143	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 < 𝑃)
13	1, 5, 8, 10, 12	syl31anc 1400	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  ltcplt 18396  0.cp0 18509  OPcops 40045   ⋖ ccvr 40135  Atomscatm 40136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-glb 18433  df-p0 18511  df-oposet 40049  df-covers 40139  df-ats 40140

This theorem is used by:  2atm2atN  40658  dia2dimlem2  41938  dia2dimlem3  41939