Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ltat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ltat 38477
Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
0ltat.z 0 = (0.‘𝐾)
0ltat.s < = (lt‘𝐾)
0ltat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
0ltat ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
2 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 0ltat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 38370 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6 0ltat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 6atbase 38475 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
87adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 eqid 2731 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
103, 9, 6atcvr0 38474 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
11 0ltat.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
122, 11, 9cvrlt 38456 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 < 𝑃)
131, 5, 8, 10, 12syl31anc 1372 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 < 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  Basecbs 17151  ltcplt 18268  0.cp0 18383  OPcops 38358  ccvr 38448  Atomscatm 38449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-glb 18307  df-p0 18385  df-oposet 38362  df-covers 38452  df-ats 38453
This theorem is referenced by:  2atm2atN  38972  dia2dimlem2  40252  dia2dimlem3  40253
  Copyright terms: Public domain W3C validator