Theorem 0ltat 39293

Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ltat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
0ltat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
0ltat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0ltat	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		0ltat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39186	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6		0ltat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 6	atbase 39291	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	3, 9, 6	atcvr0 39290	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
11		0ltat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11, 9	cvrlt 39272	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 < 𝑃)
13	1, 5, 8, 10, 12	syl31anc 1374	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  ltcplt 18355  0.cp0 18469  OPcops 39174   ⋖ ccvr 39264  Atomscatm 39265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-glb 18393  df-p0 18471  df-oposet 39178  df-covers 39268  df-ats 39269

This theorem is referenced by:  2atm2atN  39788  dia2dimlem2  41068  dia2dimlem3  41069