Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ltat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ltat 38664
Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
0ltat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
0ltat.s < = (ltβ€˜πΎ)
0ltat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
0ltat ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 0ltat.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3op0cl 38557 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 0ltat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 6atbase 38662 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 eqid 2724 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
103, 9, 6atcvr0 38661 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
11 0ltat.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
122, 11, 9cvrlt 38643 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃) β†’ 0 < 𝑃)
131, 5, 8, 10, 12syl31anc 1370 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  ltcplt 18269  0.cp0 18384  OPcops 38545   β‹– ccvr 38635  Atomscatm 38636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-glb 18308  df-p0 18386  df-oposet 38549  df-covers 38639  df-ats 38640
This theorem is referenced by:  2atm2atN  39159  dia2dimlem2  40439  dia2dimlem3  40440
  Copyright terms: Public domain W3C validator