Theorem 0ltat 39783

Description: An atom is greater than zero. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ltat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
0ltat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
0ltat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0ltat	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Proof of Theorem 0ltat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		0ltat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39676	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6		0ltat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 6	atbase 39781	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	3, 9, 6	atcvr0 39780	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
11		0ltat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11, 9	cvrlt 39762	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 < 𝑃)
13	1, 5, 8, 10, 12	syl31anc 1381	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  ltcplt 18265  0.cp0 18378  OPcops 39664   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-glb 18302  df-p0 18380  df-oposet 39668  df-covers 39758  df-ats 39759

This theorem is referenced by:  2atm2atN  40277  dia2dimlem2  41557  dia2dimlem3  41558