Theorem atcmp 38176

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 31595 analog.) (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 38166	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atcmp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 38154	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 4	atbase 38154	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
10	3, 9	atl0cl 38168	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	9, 12, 4	atcvr0 38153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	13	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15	9, 12, 4	atcvr0 38153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
16	15	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
17		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	3, 17, 12	cvrcmp 38148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
19	2, 6, 8, 11, 14, 16, 18	syl132anc 1388	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  Posetcpo 18259  0.cp0 18375   ⋖ ccvr 38127  Atomscatm 38128  AtLatcal 38129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-glb 18299  df-p0 18377  df-lat 18384  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163

This theorem is referenced by:  atncmp  38177  atnlt  38178  atnle  38182  cvlsupr2  38208  cvratlem  38287  2atjm  38311  atbtwn  38312  2atm  38393  2llnmeqat  38437  dalem25  38564  dalem55  38593  dalem57  38595  snatpsubN  38616  pmapat  38629  2llnma1b  38652  cdlemblem  38659  lhp2at0nle  38901  lhpat3  38912  4atexlemcnd  38938  trlval3  39053  cdlemc5  39061  cdleme3  39103  cdleme7  39115  cdleme11k  39134  cdleme16b  39145  cdleme16e  39148  cdleme16f  39149  cdlemednpq  39165  cdleme20j  39184  cdleme22aa  39205  cdleme22cN  39208  cdleme22d  39209  cdlemf2  39428  cdlemb3  39472  cdlemg12e  39513  cdlemg17dALTN  39530  cdlemg19a  39549  cdlemg27b  39562  cdlemg31d  39566  trlcone  39594  cdlemi  39686  tendotr  39696  cdlemk17  39724  cdlemk52  39820  cdleml1N  39842  dia2dimlem1  39930  dia2dimlem2  39931  dia2dimlem3  39932