Theorem atcmp 39267

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32379 analog.) (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 39257	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atcmp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39245	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 4	atbase 39245	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
10	3, 9	atl0cl 39259	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	9, 12, 4	atcvr0 39244	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	13	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15	9, 12, 4	atcvr0 39244	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
16	15	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
17		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	3, 17, 12	cvrcmp 39239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
19	2, 6, 8, 11, 14, 16, 18	syl132anc 1388	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  0.cp0 18493   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-glb 18417  df-p0 18495  df-lat 18502  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254

This theorem is referenced by:  atncmp  39268  atnlt  39269  atnle  39273  cvlsupr2  39299  cvratlem  39378  2atjm  39402  atbtwn  39403  2atm  39484  2llnmeqat  39528  dalem25  39655  dalem55  39684  dalem57  39686  snatpsubN  39707  pmapat  39720  2llnma1b  39743  cdlemblem  39750  lhp2at0nle  39992  lhpat3  40003  4atexlemcnd  40029  trlval3  40144  cdlemc5  40152  cdleme3  40194  cdleme7  40206  cdleme11k  40225  cdleme16b  40236  cdleme16e  40239  cdleme16f  40240  cdlemednpq  40256  cdleme20j  40275  cdleme22aa  40296  cdleme22cN  40299  cdleme22d  40300  cdlemf2  40519  cdlemb3  40563  cdlemg12e  40604  cdlemg17dALTN  40621  cdlemg19a  40640  cdlemg27b  40653  cdlemg31d  40657  trlcone  40685  cdlemi  40777  tendotr  40787  cdlemk17  40815  cdlemk52  40911  cdleml1N  40933  dia2dimlem1  41021  dia2dimlem2  41022  dia2dimlem3  41023