Theorem atcmp 39757

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32418 analog.) (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 39747	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atcmp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39735	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 4	atbase 39735	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
10	3, 9	atl0cl 39749	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	9, 12, 4	atcvr0 39734	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	13	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15	9, 12, 4	atcvr0 39734	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
16	15	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
17		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	3, 17, 12	cvrcmp 39729	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
19	2, 6, 8, 11, 14, 16, 18	syl132anc 1391	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  0.cp0 18387   ⋖ ccvr 39708  Atomscatm 39709  AtLatcal 39710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-glb 18311  df-p0 18389  df-lat 18398  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744

This theorem is referenced by:  atncmp  39758  atnlt  39759  atnle  39763  cvlsupr2  39789  cvratlem  39867  2atjm  39891  atbtwn  39892  2atm  39973  2llnmeqat  40017  dalem25  40144  dalem55  40173  dalem57  40175  snatpsubN  40196  pmapat  40209  2llnma1b  40232  cdlemblem  40239  lhp2at0nle  40481  lhpat3  40492  4atexlemcnd  40518  trlval3  40633  cdlemc5  40641  cdleme3  40683  cdleme7  40695  cdleme11k  40714  cdleme16b  40725  cdleme16e  40728  cdleme16f  40729  cdlemednpq  40745  cdleme20j  40764  cdleme22aa  40785  cdleme22cN  40788  cdleme22d  40789  cdlemf2  41008  cdlemb3  41052  cdlemg12e  41093  cdlemg17dALTN  41110  cdlemg19a  41129  cdlemg27b  41142  cdlemg31d  41146  trlcone  41174  cdlemi  41266  tendotr  41276  cdlemk17  41304  cdlemk52  41400  cdleml1N  41422  dia2dimlem1  41510  dia2dimlem2  41511  dia2dimlem3  41512