Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcmp 39312
Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32366 analog.) (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcmp.l = (le‘𝐾)
atcmp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcmp ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcmp
StepHypRef Expression
1 atlpos 39302 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
213ad2ant1 1134 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 atcmp.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 39290 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1135 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 4atbase 39290 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
873ad2ant3 1136 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9 eqid 2737 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
103, 9atl0cl 39304 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11103ad2ant1 1134 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2737 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
139, 12, 4atcvr0 39289 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14133adant3 1133 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
159, 12, 4atcvr0 39289 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
16153adant2 1132 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
17 atcmp.l . . 3 = (le‘𝐾)
183, 17, 12cvrcmp 39284 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)) → (𝑃 𝑄𝑃 = 𝑄))
192, 6, 8, 11, 14, 16, 18syl132anc 1390 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  0.cp0 18468  ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299
This theorem is referenced by:  atncmp  39313  atnlt  39314  atnle  39318  cvlsupr2  39344  cvratlem  39423  2atjm  39447  atbtwn  39448  2atm  39529  2llnmeqat  39573  dalem25  39700  dalem55  39729  dalem57  39731  snatpsubN  39752  pmapat  39765  2llnma1b  39788  cdlemblem  39795  lhp2at0nle  40037  lhpat3  40048  4atexlemcnd  40074  trlval3  40189  cdlemc5  40197  cdleme3  40239  cdleme7  40251  cdleme11k  40270  cdleme16b  40281  cdleme16e  40284  cdleme16f  40285  cdlemednpq  40301  cdleme20j  40320  cdleme22aa  40341  cdleme22cN  40344  cdleme22d  40345  cdlemf2  40564  cdlemb3  40608  cdlemg12e  40649  cdlemg17dALTN  40666  cdlemg19a  40685  cdlemg27b  40698  cdlemg31d  40702  trlcone  40730  cdlemi  40822  tendotr  40832  cdlemk17  40860  cdlemk52  40956  cdleml1N  40978  dia2dimlem1  41066  dia2dimlem2  41067  dia2dimlem3  41068
  Copyright terms: Public domain W3C validator