Theorem atcmp 39567

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 32422 analog.) (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 39557	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atcmp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39545	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 4	atbase 39545	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
10	3, 9	atl0cl 39559	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	9, 12, 4	atcvr0 39544	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	13	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15	9, 12, 4	atcvr0 39544	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
16	15	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)
17		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	3, 17, 12	cvrcmp 39539	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑄)) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
19	2, 6, 8, 11, 14, 16, 18	syl132anc 1390	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  0.cp0 18344   ⋖ ccvr 39518  Atomscatm 39519  AtLatcal 39520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-glb 18268  df-p0 18346  df-lat 18355  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554

This theorem is referenced by:  atncmp  39568  atnlt  39569  atnle  39573  cvlsupr2  39599  cvratlem  39677  2atjm  39701  atbtwn  39702  2atm  39783  2llnmeqat  39827  dalem25  39954  dalem55  39983  dalem57  39985  snatpsubN  40006  pmapat  40019  2llnma1b  40042  cdlemblem  40049  lhp2at0nle  40291  lhpat3  40302  4atexlemcnd  40328  trlval3  40443  cdlemc5  40451  cdleme3  40493  cdleme7  40505  cdleme11k  40524  cdleme16b  40535  cdleme16e  40538  cdleme16f  40539  cdlemednpq  40555  cdleme20j  40574  cdleme22aa  40595  cdleme22cN  40598  cdleme22d  40599  cdlemf2  40818  cdlemb3  40862  cdlemg12e  40903  cdlemg17dALTN  40920  cdlemg19a  40939  cdlemg27b  40952  cdlemg31d  40956  trlcone  40984  cdlemi  41076  tendotr  41086  cdlemk17  41114  cdlemk52  41210  cdleml1N  41232  dia2dimlem1  41320  dia2dimlem2  41321  dia2dimlem3  41322