Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 37935
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 31363 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atcvr0eq.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvr0eq.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3atcvr1 37926 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
65, 2, 3atcvr0 37796 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
763adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
87biantrurd 534 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄))))
94, 8bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ ( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄))))
10 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 37870 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 5op0cl 37692 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 3atbase 37797 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17163ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1813, 1, 3hlatjcl 37875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1913, 2cvrntr 37934 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
219, 20sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2221necon4ad 2959 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 37877 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑃))
26 oveq2 7366 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
2726breq2d 5118 . . 3 (𝑃 = 𝑄 β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 = 𝑄 β†’ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2922, 28impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  joincjn 18205  0.cp0 18317  OPcops 37680   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  atcvrj0  37937
  Copyright terms: Public domain W3C validator