Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 38836
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 32176 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3atcvr1 38827 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
65, 2, 3atcvr0 38697 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
763adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶𝑃)
87biantrurd 532 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
94, 8bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
10 simp1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 38771 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2727 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 5op0cl 38593 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 3atbase 38698 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 1, 3hlatjcl 38776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2cvrntr 38835 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
219, 20sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2221necon4ad 2954 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 38778 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5170 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶(𝑃 𝑃))
26 oveq2 7422 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
2726breq2d 5154 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2922, 28impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  joincjn 18294  0.cp0 18406  OPcops 38581  ccvr 38671  Atomscatm 38672  HLchlt 38759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-lat 18415  df-clat 18482  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760
This theorem is referenced by:  atcvrj0  38838
  Copyright terms: Public domain W3C validator