Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 38810
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 32141 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atcvr0eq.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvr0eq.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3atcvr1 38801 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
65, 2, 3atcvr0 38671 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
763adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
87biantrurd 532 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄))))
94, 8bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ ( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄))))
10 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 38745 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 5op0cl 38567 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 3atbase 38672 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17163ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1813, 1, 3hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1913, 2cvrntr 38809 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (( 0 𝐢𝑃 ∧ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
219, 20sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ Β¬ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2221necon4ad 2953 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 38752 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5169 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑃))
26 oveq2 7413 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
2726breq2d 5153 . . 3 (𝑃 = 𝑄 β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 = 𝑄 β†’ 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
2922, 28impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 𝐢(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  joincjn 18276  0.cp0 18388  OPcops 38555   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by:  atcvrj0  38812
  Copyright terms: Public domain W3C validator