Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 37095
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 30326 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3atcvr1 37086 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
65, 2, 3atcvr0 36957 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
763adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶𝑃)
87biantrurd 536 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
94, 8bitrd 282 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
10 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 37031 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2739 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 5op0cl 36853 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 3atbase 36958 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 1, 3hlatjcl 37036 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2cvrntr 37094 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
219, 20sylbid 243 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2221necon4ad 2954 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 37038 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5068 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶(𝑃 𝑃))
26 oveq2 7190 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
2726breq2d 5052 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 248 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2922, 28impbid 215 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935   class class class wbr 5040  cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  joincjn 17682  0.cp0 17775  OPcops 36841  ccvr 36931  Atomscatm 36932  HLchlt 37019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-lat 17784  df-clat 17846  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020
This theorem is referenced by:  atcvrj0  37097
  Copyright terms: Public domain W3C validator