Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 36566
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 30159 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3atcvr1 36557 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
65, 2, 3atcvr0 36428 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
763adant3 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶𝑃)
87biantrurd 535 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
94, 8bitrd 281 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
10 simp1 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 36502 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 5op0cl 36324 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 3atbase 36429 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 1, 3hlatjcl 36507 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2cvrntr 36565 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
219, 20sylbid 242 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2221necon4ad 3038 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 36509 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5097 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶(𝑃 𝑃))
26 oveq2 7167 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
2726breq2d 5081 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 247 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2922, 28impbid 214 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  joincjn 17557  0.cp0 17650  OPcops 36312  ccvr 36402  Atomscatm 36403  HLchlt 36490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491
This theorem is referenced by:  atcvrj0  36568
  Copyright terms: Public domain W3C validator