Theorem atcvr0eq 36722

Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 30162 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvr0eq.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		atcvr0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	atcvr1 36713	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		atcvr0eq.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	5, 2, 3	atcvr0 36584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
7	6	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
8	7	biantrurd 536	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
9	4, 8	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
10		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 36658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 5	op0cl 36480	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
16	13, 3	atbase 36585	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
18	13, 1, 3	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2	cvrntr 36721	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
20	10, 15, 17, 18, 19	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
21	9, 20	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
22	21	necon4ad 3006	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
23	1, 3	hlatjidm 36665	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24	23	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
25	7, 24	breqtrrd 5058	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃))
26		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
27	26	breq2d 5042	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
28	25, 27	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
29	22, 28	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  joincjn 17546  0.cp0 17639  OPcops 36468   ⋖ ccvr 36558  Atomscatm 36559  HLchlt 36646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647

This theorem is referenced by:  atcvrj0  36724