Theorem atcvr0eq 40674

Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 33008 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvr0eq.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		atcvr0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	atcvr1 40665	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		atcvr0eq.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	5, 2, 3	atcvr0 40536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
7	6	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
8	7	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
9	4, 8	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
10		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 40610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 5	op0cl 40432	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
16	13, 3	atbase 40537	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
18	13, 1, 3	hlatjcl 40615	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2	cvrntr 40673	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
20	10, 15, 17, 18, 19	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
21	9, 20	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
22	21	necon4ad 2978	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
23	1, 3	hlatjidm 40617	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24	23	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
25	7, 24	breqtrrd 5136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃))
26		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
27	26	breq2d 5118	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
28	25, 27	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
29	22, 28	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  joincjn 18511  0.cp0 18621  OPcops 40420   ⋖ ccvr 40510  Atomscatm 40511  HLchlt 40598

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599

This theorem is used by:  atcvrj0  40676