Theorem atcvr0eq 39831

Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 32473 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvr0eq.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		atcvr0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	atcvr1 39822	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		atcvr0eq.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	5, 2, 3	atcvr0 39693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
7	6	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
8	7	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
9	4, 8	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
10		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 5	op0cl 39589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
16	13, 3	atbase 39694	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
18	13, 1, 3	hlatjcl 39772	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2	cvrntr 39830	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
20	10, 15, 17, 18, 19	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
21	9, 20	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
22	21	necon4ad 2952	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
23	1, 3	hlatjidm 39774	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24	23	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
25	7, 24	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃))
26		oveq2 7378	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
27	26	breq2d 5112	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
28	25, 27	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
29	22, 28	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  joincjn 18248  0.cp0 18358  OPcops 39577   ⋖ ccvr 39667  Atomscatm 39668  HLchlt 39755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756

This theorem is referenced by:  atcvrj0  39833