Theorem atcvr0eq 39420

Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 32308 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvr0eq.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		atcvr0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	atcvr1 39411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		atcvr0eq.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	5, 2, 3	atcvr0 39281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
7	6	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
8	7	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
9	4, 8	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
10		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 39355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 5	op0cl 39177	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
16	13, 3	atbase 39282	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
18	13, 1, 3	hlatjcl 39360	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2	cvrntr 39419	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
20	10, 15, 17, 18, 19	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
21	9, 20	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
22	21	necon4ad 2944	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
23	1, 3	hlatjidm 39362	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24	23	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
25	7, 24	breqtrrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃))
26		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
27	26	breq2d 5119	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
28	25, 27	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
29	22, 28	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  joincjn 18272  0.cp0 18382  OPcops 39165   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  atcvrj0  39422