Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 39409
Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 32408 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3atcvr1 39400 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
65, 2, 3atcvr0 39270 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
763adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶𝑃)
87biantrurd 532 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
94, 8bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
10 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 39344 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 5op0cl 39166 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 3atbase 39271 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 1, 3hlatjcl 39349 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2cvrntr 39408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
219, 20sylbid 240 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2221necon4ad 2957 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 39351 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 5176 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶(𝑃 𝑃))
26 oveq2 7439 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
2726breq2d 5160 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 245 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2922, 28impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  0.cp0 18481  OPcops 39154  ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  atcvrj0  39411
  Copyright terms: Public domain W3C validator