Theorem lnnat 38895

Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnnat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lnnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lnnat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5		lnnat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	atcvr0 38755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
7	1, 2, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8		lnnat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9	8, 4, 5	atcvr1 38885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
11		hlop 38829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	op0cl 38651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 11, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 5	atbase 38756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	1	hllatd 38831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18		simpl3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	12, 5	atbase 38756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
21	12, 8	latjcl 18425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 16, 20, 21	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12, 4	cvrntr 38893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	1, 14, 16, 22, 23	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	7, 10, 24	mp2and 698	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
26		simpll1 1210	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
27	3, 4, 5	atcvr0 38755	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
28	26, 27	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
29	25, 28	mtand 815	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
30	29	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
31	8, 5	hlatjidm 38836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
32	31	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
33		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	32, 33	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴)
35		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
36	35	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
37	34, 36	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
38	37	necon3bd 2950	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 𝑄))
39	30, 38	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  joincjn 18297  0.cp0 18409  Latclat 18417  OPcops 38639   ⋖ ccvr 38729  Atomscatm 38730  HLchlt 38817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818

This theorem is referenced by:  2atjlej  38947  cdleme11h  39734