Theorem lnnat 40624

Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnnat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lnnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lnnat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5		lnnat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	atcvr0 40485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8		lnnat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9	8, 4, 5	atcvr1 40614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	9	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
11		hlop 40559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	op0cl 40381	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 11, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 5	atbase 40486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	1	hllatd 40561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	12, 5	atbase 40486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
21	12, 8	latjcl 18625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 16, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12, 4	cvrntr 40622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	1, 14, 16, 22, 23	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	7, 10, 24	mp2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
26		simpll1 1231	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
27	3, 4, 5	atcvr0 40485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
28	26, 27	sylancom 600	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
29	25, 28	mtand 828	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
30	29	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
31	8, 5	hlatjidm 40566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
32	31	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
33		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	32, 33	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴)
35		oveq2 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
36	35	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
37	34, 36	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
38	37	necon3bd 2972	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 𝑄))
39	30, 38	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  joincjn 18497  0.cp0 18607  Latclat 18617  OPcops 40369   ⋖ ccvr 40459  Atomscatm 40460  HLchlt 40547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548

This theorem is used by:  2atjlej  40676  cdleme11h  41463