Theorem lnnat 39384

Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnnat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lnnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lnnat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5		lnnat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	atcvr0 39244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
7	1, 2, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8		lnnat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9	8, 4, 5	atcvr1 39374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
11		hlop 39318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	op0cl 39140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 11, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 5	atbase 39245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	1	hllatd 39320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	12, 5	atbase 39245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
21	12, 8	latjcl 18509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 16, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12, 4	cvrntr 39382	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	1, 14, 16, 22, 23	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	7, 10, 24	mp2and 698	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
26		simpll1 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
27	3, 4, 5	atcvr0 39244	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
28	26, 27	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
29	25, 28	mtand 815	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
30	29	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
31	8, 5	hlatjidm 39325	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
32	31	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
33		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	32, 33	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴)
35		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
36	35	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
37	34, 36	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
38	37	necon3bd 2960	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 𝑄))
39	30, 38	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  0.cp0 18493  Latclat 18501  OPcops 39128   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  2atjlej  39436  cdleme11h  40223