Theorem lnnat 40051

Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnnat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lnnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lnnat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5		lnnat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	atcvr0 39912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
7	1, 2, 6	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8		lnnat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9	8, 4, 5	atcvr1 40041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	9	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
11		hlop 39986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	op0cl 39808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 11, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 5	atbase 39913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	1	hllatd 39988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18		simpl3 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	12, 5	atbase 39913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
21	12, 8	latjcl 18471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 16, 20, 21	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12, 4	cvrntr 40049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	1, 14, 16, 22, 23	syl13anc 1391	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	7, 10, 24	mp2and 709	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
26		simpll1 1226	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
27	3, 4, 5	atcvr0 39912	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
28	26, 27	sylancom 597	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
29	25, 28	mtand 825	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
30	29	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
31	8, 5	hlatjidm 39993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
32	31	3adant3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
33		simp2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	32, 33	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴)
35		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
36	35	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
37	34, 36	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
38	37	necon3bd 2971	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 𝑄))
39	30, 38	impbid 214	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  joincjn 18343  0.cp0 18453  Latclat 18463  OPcops 39796   ⋖ ccvr 39886  Atomscatm 39887  HLchlt 39974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975

This theorem is referenced by:  2atjlej  40103  cdleme11h  40890