Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnnat 36443
Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lnnat.j = (join‘𝐾)
lnnat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lnnat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1184 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lnnat.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5atcvr0 36304 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
71, 2, 6syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8 lnnat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
98, 4, 5atcvr1 36433 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
109biimpa 477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
11 hlop 36378 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3op0cl 36200 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
141, 11, 133syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1512, 5atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
162, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
171hllatd 36380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18 simpl3 1185 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
1912, 5atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2112, 8latjcl 17649 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2217, 16, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2312, 4cvrntr 36441 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
241, 14, 16, 22, 23syl13anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
257, 10, 24mp2and 695 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
26 simpll1 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
273, 4, 5atcvr0 36304 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2826, 27sylancom 588 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2925, 28mtand 812 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
3029ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
318, 5hlatjidm 36385 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
32313adant3 1124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
33 simp2 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
3432, 33eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) ∈ 𝐴)
35 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
3635eleq1d 2894 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3734, 36syl5ibcom 246 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3837necon3bd 3027 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴𝑃𝑄))
3930, 38impbid 213 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  joincjn 17542  0.cp0 17635  Latclat 17643  OPcops 36188  ccvr 36278  Atomscatm 36279  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  2atjlej  36495  cdleme11h  37282
  Copyright terms: Public domain W3C validator