Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnnat 36550
Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lnnat.j = (join‘𝐾)
lnnat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lnnat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1186 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2819 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2819 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lnnat.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5atcvr0 36411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
71, 2, 6syl2anc 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8 lnnat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
98, 4, 5atcvr1 36540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
109biimpa 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
11 hlop 36485 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2819 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3op0cl 36307 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
141, 11, 133syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1512, 5atbase 36412 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
162, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
171hllatd 36487 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
18 simpl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
1912, 5atbase 36412 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2112, 8latjcl 17653 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2217, 16, 20, 21syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2312, 4cvrntr 36548 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
241, 14, 16, 22, 23syl13anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
257, 10, 24mp2and 697 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
26 simpll1 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
273, 4, 5atcvr0 36411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2826, 27sylancom 590 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2925, 28mtand 814 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
3029ex 415 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
318, 5hlatjidm 36492 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
32313adant3 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
33 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
3432, 33eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) ∈ 𝐴)
35 oveq2 7156 . . . . 5 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
3635eleq1d 2895 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3734, 36syl5ibcom 247 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3837necon3bd 3028 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴𝑃𝑄))
3930, 38impbid 214 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  joincjn 17546  0.cp0 17639  Latclat 17647  OPcops 36295  ccvr 36385  Atomscatm 36386  HLchlt 36473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474
This theorem is referenced by:  2atjlej  36602  cdleme11h  37389
  Copyright terms: Public domain W3C validator