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Theorem athgt 39438
Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j = (join‘𝐾)
athgt.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
athgt (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2734 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 eqid 2734 . . 3 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2734 . . 3 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 39370 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 39343 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 3op0cl 39165 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl2l 1225 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11 simprll 779 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 athgt.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
14 athgt.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15 athgt.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39394 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18 simp11 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
203, 14, 15atcvr0 39269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22 hlol 39342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
241, 15atbase 39270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25243ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
261, 13, 3olj02 39207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2821, 27breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝))
2928biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
3027breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3129, 30bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32313expa 1117 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3332rexbidva 3174 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3417, 33mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35 simp11 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36253adant3r 1180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37 simp12r 1286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39 simp2lr 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40 hlpos 39347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4135, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42 simp12l 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
431, 12, 2plelttr 18401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4538, 39, 44mp2and 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48 simp11 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
4948hllatd 39345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50 simp3ll 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝𝐴)
5150, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52 simp3lr 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞𝐴)
531, 15atbase 39270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
551, 13latjcl 18496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
5649, 51, 54, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
6048, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61 simp12 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
621, 12, 2plelttr 18401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6360, 56, 61, 57, 62syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6458, 59, 63mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
651, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
6648, 56, 57, 64, 65syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67 simp1ll 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
6867hllatd 39345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69 simp2ll 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝𝐴)
7069, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71 simp2lr 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞𝐴)
7271, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
7368, 70, 72, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟𝐴)
751, 15atbase 39270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
771, 13latjcl 18496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
7868, 73, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
791, 4op1cl 39166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
8067, 7, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
8367, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84 simp1lr 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
851, 12, 2plelttr 18401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8683, 78, 84, 80, 85syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8781, 82, 86mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
881, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8967, 78, 80, 87, 88syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9190reximi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
93923exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
9493exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
9594ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
96953adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
97963imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
98973adant2l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
9998imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
10099anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
101100reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
10266, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
1031023exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
104103exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
105104exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1061053adant2l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1071063imp1 1346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
108107anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
109108reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1101093adant2l 1177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1111103adant3r 1180 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11247, 111mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1131123expia 1120 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
114113expd 415 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
115114reximdvai 3162 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11634, 115mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1171163exp1 1351 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
118117imp 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
119118rexlimdv 3150 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
120119rexlimdvva 3210 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1215, 120mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  lecple 17304  Posetcpo 18364  ltcplt 18365  joincjn 18368  0.cp0 18480  1.cp1 18481  Latclat 18488  OPcops 39153  OLcol 39155  ccvr 39243  Atomscatm 39244  HLchlt 39331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332
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