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Theorem athgt 38831
Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
athgt.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
athgt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
athgt (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑠,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 eqid 2724 . . 3 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
4 eqid 2724 . . 3 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
51, 2, 3, 4hlhgt4 38763 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))))
6 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 38736 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
81, 3op0cl 38558 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simpl2l 1223 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simprll 776 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯)
12 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 athgt.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 athgt.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
15 athgt.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38787 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯))
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯))
18 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
203, 14, 15atcvr0 38662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢𝑝)
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢𝑝)
22 hlol 38735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OL)
241, 15atbase 38663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25243ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
261, 13, 3olj02 38600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) = 𝑝)
2723, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) = 𝑝)
2821, 27breqtrrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝))
2928biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯)))
3027breq1d 5149 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3129, 30bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
32313expa 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3332rexbidva 3168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3417, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)
35 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
36253adant3r 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)
39 simp2lr 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦)
40 hlpos 38740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4135, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
42 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
431, 12, 2plelttr 18305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦))
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦))
4538, 39, 44mp2and 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦)
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦))
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦))
48 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4948hllatd 38738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
50 simp3ll 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5150, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simp3lr 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
531, 15atbase 38663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
551, 13latjcl 18400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5649, 51, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
57 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
58 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)
59 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧)
6048, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
621, 12, 2plelttr 18305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
6360, 56, 61, 57, 62syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
6458, 59, 63mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧)
651, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧))
6648, 56, 57, 64, 65syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧))
67 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6867hllatd 38738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
69 simp2ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
7069, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
71 simp2lr 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
7271, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7368, 70, 72, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
74 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
751, 15atbase 38663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
771, 13latjcl 18400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7868, 73, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
791, 4op1cl 38559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8067, 7, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)
82 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
8367, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
84 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
851, 12, 2plelttr 18305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8683, 78, 84, 80, 85syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8781, 82, 86mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
881, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8967, 78, 80, 87, 88syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
90 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
9190reximi 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
93923exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
9493exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
9594ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
96953adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
97963imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
98973adant2l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
9998imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
10099anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
101100reximdva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
10266, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
1031023exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
104103exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
105104exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
1061053adant2l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
1071063imp1 1344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
108107anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
109108reximdva 3160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1101093adant2l 1175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1111103adant3r 1178 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
11247, 111mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
1131123expia 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
114113expd 415 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
115114reximdvai 3157 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
11634, 115mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
1171163exp1 1349 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
118117imp 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
119118rexlimdv 3145 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
120119rexlimdvva 3203 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1215, 120mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18268  ltcplt 18269  joincjn 18272  0.cp0 18384  1.cp1 18385  Latclat 18392  OPcops 38546  OLcol 38548   β‹– ccvr 38636  Atomscatm 38637  HLchlt 38724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725
This theorem is referenced by:  3dim0  38832
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