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Theorem athgt 38929
Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
athgt.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
athgt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
athgt (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑠,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 eqid 2728 . . 3 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
4 eqid 2728 . . 3 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
51, 2, 3, 4hlhgt4 38861 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))))
6 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 38834 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
81, 3op0cl 38656 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simpl2l 1224 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 athgt.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 athgt.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
15 athgt.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38885 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯))
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯))
18 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
203, 14, 15atcvr0 38760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢𝑝)
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢𝑝)
22 hlol 38833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OL)
241, 15atbase 38761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25243ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
261, 13, 3olj02 38698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) = 𝑝)
2723, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) = 𝑝)
2821, 27breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝))
2928biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯)))
3027breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3129, 30bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
32313expa 1116 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3332rexbidva 3173 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((0.β€˜πΎ)𝐢((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝) ∧ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯))
3417, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)
35 simp11 1201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
36253adant3r 1179 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 simp12r 1285 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)
39 simp2lr 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦)
40 hlpos 38838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4135, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
42 simp12l 1284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
431, 12, 2plelttr 18336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦))
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦))
4538, 39, 44mp2and 698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦)
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦))
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦))
48 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4948hllatd 38836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
50 simp3ll 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5150, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simp3lr 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
531, 15atbase 38761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
551, 13latjcl 18431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5649, 51, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
57 simp13 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
58 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)
59 simp2l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧)
6048, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61 simp12 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
621, 12, 2plelttr 18336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
6360, 56, 61, 57, 62syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
6458, 59, 63mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧)
651, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(ltβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧))
6648, 56, 57, 64, 65syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧))
67 simp1ll 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6867hllatd 38836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
69 simp2ll 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
7069, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
71 simp2lr 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
7271, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7368, 70, 72, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
74 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
751, 15atbase 38761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
771, 13latjcl 18431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7868, 73, 76, 77syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
791, 4op1cl 38657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8067, 7, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)
82 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
8367, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
84 simp1lr 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
851, 12, 2plelttr 18336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8683, 78, 84, 80, 85syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8781, 82, 86mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
881, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 38885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
8967, 78, 80, 87, 88syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
90 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
9190reximi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)(leβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
93923exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
9493exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
9594ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
96953adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
97963imp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
98973adant2l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
9998imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
10099anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
101100reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
10266, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
1031023exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
104103exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
105104exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
1061053adant2l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
1071063imp1 1345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
108107anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
109108reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1101093adant2l 1176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1111103adant3r 1179 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑦) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
11247, 111mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
1131123expia 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
114113expd 415 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
115114reximdvai 3162 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
11634, 115mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
1171163exp1 1350 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))))
118117imp 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))))
119118rexlimdv 3150 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
120119rexlimdvva 3208 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ π‘₯(ltβ€˜πΎ)𝑦) ∧ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
1215, 120mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝𝐢(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)𝐢((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)𝐢(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  Posetcpo 18299  ltcplt 18300  joincjn 18303  0.cp0 18415  1.cp1 18416  Latclat 18423  OPcops 38644  OLcol 38646   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
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