athgt - Mathbox for Norm Megill

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Theorem athgt 39450

Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
athgt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
athgt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
athgt	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups: 𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴 ∨ ,𝑟,𝑠 𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝) ∨ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 39382	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 3	op0cl 39177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		athgt.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		athgt.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15		athgt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
17	6, 9, 10, 11, 16	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20	3, 14, 15	atcvr0 39281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22		hlol 39354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24	1, 15	atbase 39282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 13, 3	olj02 39219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
28	21, 27	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝))
29	28	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
30	27	breq1d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
31	29, 30	bitr3d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32	31	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
33	32	rexbidva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
34	17, 33	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35		simp11 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36	25	3adant3r 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37		simp12r 1288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40		hlpos 39359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
43	1, 12, 2	plelttr 18303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
44	41, 36, 42, 37, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
45	38, 39, 44	mp2and 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
46	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
47	35, 36, 37, 45, 46	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
49	48	hllatd 39357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50		simp3ll 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	50, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52		simp3lr 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
53	1, 15	atbase 39282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
55	1, 13	latjcl 18398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
56	49, 51, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
60	48, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 12, 2	plelttr 18303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
63	60, 56, 61, 57, 62	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
64	58, 59, 63	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
65	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
66	48, 56, 57, 64, 65	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
68	67	hllatd 39357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
70	69, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
72	71, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
73	68, 70, 72, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
75	1, 15	atbase 39282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
77	1, 13	latjcl 18398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
78	68, 73, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
79	1, 4	op1cl 39178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
80	67, 7, 79	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
83	67, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84		simp1lr 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
85	1, 12, 2	plelttr 18303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
86	83, 78, 84, 80, 85	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
87	81, 82, 86	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
88	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
89	67, 78, 80, 87, 88	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
91	90	reximi 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
93	92	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
94	93	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
96	95	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
97	96	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
98	97	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
99	98	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
100	99	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
101	100	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
102	66, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
103	102	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
104	103	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
105	104	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
106	105	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
107	106	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
108	107	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
109	108	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
110	109	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
111	110	3adant3r 1182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
112	47, 111	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
113	112	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
114	113	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
115	114	reximdvai 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
116	34, 115	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
117	116	3exp1 1353	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
118	117	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
119	118	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
120	119	rexlimdvva 3194	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
121	5, 120	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 Basecbs 17179 lecple 17227 Posetcpo 18268 ltcplt 18269 joincjn 18272 0.cp0 18382 1.cp1 18383 Latclat 18390 OPcops 39165 OLcol 39167 ⋖ ccvr 39255 Atomscatm 39256 HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-id 5533 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-proset 18255 df-poset 18274 df-plt 18289 df-lub 18305 df-glb 18306 df-join 18307 df-meet 18308 df-p0 18384 df-p1 18385 df-lat 18391 df-clat 18458 df-oposet 39169 df-ol 39171 df-oml 39172 df-covers 39259 df-ats 39260 df-atl 39291 df-cvlat 39315 df-hlat 39344

This theorem is referenced by: 3dim0 39451

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