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Theorem athgt 39458
Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j = (join‘𝐾)
athgt.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
athgt (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 eqid 2737 . . 3 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2737 . . 3 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 39390 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 39363 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 3op0cl 39185 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl2l 1227 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11 simprll 779 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 athgt.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
14 athgt.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15 athgt.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39414 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
203, 14, 15atcvr0 39289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22 hlol 39362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
241, 15atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
261, 13, 3olj02 39227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑝) = 𝑝)
2821, 27breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝))
2928biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
3027breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3129, 30bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32313expa 1119 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3332rexbidva 3177 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
3417, 33mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35 simp11 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36253adant3r 1182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37 simp12r 1288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39 simp2lr 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40 hlpos 39367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4135, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42 simp12l 1287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
431, 12, 2plelttr 18389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
4538, 39, 44mp2and 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39414 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
4948hllatd 39365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50 simp3ll 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝𝐴)
5150, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52 simp3lr 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞𝐴)
531, 15atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
551, 13latjcl 18484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
5649, 51, 54, 55syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57 simp13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
6048, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61 simp12 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
621, 12, 2plelttr 18389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6360, 56, 61, 57, 62syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
6458, 59, 63mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
651, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
6648, 56, 57, 64, 65syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
6867hllatd 39365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69 simp2ll 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝𝐴)
7069, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71 simp2lr 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞𝐴)
7271, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
7368, 70, 72, 55syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟𝐴)
751, 15atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
771, 13latjcl 18484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
7868, 73, 76, 77syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
791, 4op1cl 39186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
8067, 7, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
8367, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84 simp1lr 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
851, 12, 2plelttr 18389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8683, 78, 84, 80, 85syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8781, 82, 86mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
881, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 39414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
8967, 78, 80, 87, 88syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9190reximi 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∃𝑠𝐴 (((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ∧ (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))
93923exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
9493exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
9594ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
96953adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
97963imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
98973adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟𝐴 → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
9998imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
10099anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟𝐴) → (((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
101100reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
10266, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
1031023exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
104103exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
105104exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1061053adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝𝐴 → (𝑞𝐴 → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
1071063imp1 1348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
108107anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
109108reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1101093adant2l 1179 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1111103adant3r 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ (𝑝 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11247, 111mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1131123expia 1122 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
114113expd 415 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
115114reximdvai 3165 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
11634, 115mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
1171163exp1 1353 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))))
118117imp 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))))
119118rexlimdv 3153 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
120119rexlimdvva 3213 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
1215, 120mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)𝐶((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)𝐶(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  joincjn 18357  0.cp0 18468  1.cp1 18469  Latclat 18476  OPcops 39173  OLcol 39175  ccvr 39263  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  3dim0  39459
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