| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | eqid 2737 | . . 3
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) | 
| 2 |  | eqid 2737 | . . 3
⊢
(lt‘𝐾) =
(lt‘𝐾) | 
| 3 |  | eqid 2737 | . . 3
⊢
(0.‘𝐾) =
(0.‘𝐾) | 
| 4 |  | eqid 2737 | . . 3
⊢
(1.‘𝐾) =
(1.‘𝐾) | 
| 5 | 1, 2, 3, 4 | hlhgt4 39390 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) | 
| 6 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 7 |  | hlop 39363 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP) | 
| 8 | 1, 3 | op0cl 39185 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ OP →
(0.‘𝐾) ∈
(Base‘𝐾)) | 
| 9 | 6, 7, 8 | 3syl 18 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 10 |  | simpl2l 1227 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 11 |  | simprll 779 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) | 
| 12 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . 10
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) | 
| 13 |  | athgt.j | . . . . . . . . . 10
⊢  ∨ =
(join‘𝐾) | 
| 14 |  | athgt.c | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾) | 
| 15 |  | athgt.a | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) | 
| 16 | 1, 12, 2, 13, 14, 15 | hlrelat3 39414 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 17 | 6, 9, 10, 11, 16 | syl31anc 1375 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 18 |  | simp11 1204 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 19 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴) | 
| 20 | 3, 14, 15 | atcvr0 39289 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝) | 
| 21 | 18, 19, 20 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝) | 
| 22 |  | hlol 39362 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL) | 
| 23 | 18, 22 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL) | 
| 24 | 1, 15 | atbase 39290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 25 | 24 | 3ad2ant3 1136 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 26 | 1, 13, 3 | olj02 39227 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝) | 
| 27 | 23, 25, 26 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝) | 
| 28 | 21, 27 | breqtrrd 5171 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)) | 
| 29 | 28 | biantrurd 532 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))) | 
| 30 | 27 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 31 | 29, 30 | bitr3d 281 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 32 | 31 | 3expa 1119 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 33 | 32 | rexbidva 3177 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) | 
| 34 | 17, 33 | mpbid 232 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥) | 
| 35 |  | simp11 1204 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 36 | 25 | 3adant3r 1182 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 37 |  | simp12r 1288 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 38 |  | simp3r 1203 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥) | 
| 39 |  | simp2lr 1242 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) | 
| 40 |  | hlpos 39367 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 41 | 35, 40 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 42 |  | simp12l 1287 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 43 | 1, 12, 2 | plelttr 18389 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)) | 
| 44 | 41, 36, 42, 37, 43 | syl13anc 1374 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)) | 
| 45 | 38, 39, 44 | mp2and 699 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) | 
| 46 | 1, 12, 2, 13, 14, 15 | hlrelat3 39414 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) | 
| 47 | 35, 36, 37, 45, 46 | syl31anc 1375 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) | 
| 48 |  | simp11 1204 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 49 | 48 | hllatd 39365 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat) | 
| 50 |  | simp3ll 1245 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝐴) | 
| 51 | 50, 24 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 52 |  | simp3lr 1246 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ 𝐴) | 
| 53 | 1, 15 | atbase 39290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 54 | 52, 53 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 55 | 1, 13 | latjcl 18484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 56 | 49, 51, 54, 55 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 57 |  | simp13 1206 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 58 |  | simp3r 1203 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) | 
| 59 |  | simp2l 1200 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) | 
| 60 | 48, 40 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 61 |  | simp12 1205 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 62 | 1, 12, 2 | plelttr 18389 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)) | 
| 63 | 60, 56, 61, 57, 62 | syl13anc 1374 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)) | 
| 64 | 58, 59, 63 | mp2and 699 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) | 
| 65 | 1, 12, 2, 13, 14, 15 | hlrelat3 39414 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) | 
| 66 | 48, 56, 57, 64, 65 | syl31anc 1375 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) | 
| 67 |  | simp1ll 1237 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 68 | 67 | hllatd 39365 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat) | 
| 69 |  | simp2ll 1241 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝐴) | 
| 70 | 69, 24 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 71 |  | simp2lr 1242 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝐴) | 
| 72 | 71, 53 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 73 | 68, 70, 72, 55 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 74 |  | simp3l 1202 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ 𝐴) | 
| 75 | 1, 15 | atbase 39290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 76 | 74, 75 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 77 | 1, 13 | latjcl 18484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 78 | 68, 73, 76, 77 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 79 | 1, 4 | op1cl 39186 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝐾 ∈ OP →
(1.‘𝐾) ∈
(Base‘𝐾)) | 
| 80 | 67, 7, 79 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 81 |  | simp3r 1203 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) | 
| 82 |  | simp1r 1199 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) | 
| 83 | 67, 40 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 84 |  | simp1lr 1238 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 85 | 1, 12, 2 | plelttr 18389 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) | 
| 86 | 83, 78, 84, 80, 85 | syl13anc 1374 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) | 
| 87 | 81, 82, 86 | mp2and 699 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) | 
| 88 | 1, 12, 2, 13, 14, 15 | hlrelat3 39414 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) | 
| 89 | 67, 78, 80, 87, 88 | syl31anc 1375 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) | 
| 90 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) | 
| 91 | 90 | reximi 3084 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) | 
| 92 | 89, 91 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) | 
| 93 | 92 | 3exp 1120 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 94 | 93 | exp4a 431 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 95 | 94 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))) | 
| 96 | 95 | 3adant2 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))) | 
| 97 | 96 | 3imp 1111 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 98 | 97 | 3adant2l 1179 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 99 | 98 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) | 
| 100 | 99 | anim2d 612 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 101 | 100 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 102 | 66, 101 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) | 
| 103 | 102 | 3exp 1120 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 104 | 103 | exp4a 431 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))) | 
| 105 | 104 | exp4a 431 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))) | 
| 106 | 105 | 3adant2l 1179 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))) | 
| 107 | 106 | 3imp1 1348 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 108 | 107 | anim2d 612 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 109 | 108 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 110 | 109 | 3adant2l 1179 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 111 | 110 | 3adant3r 1182 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 112 | 47, 111 | mpd 15 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 113 | 112 | 3expia 1122 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 114 | 113 | expd 415 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))) | 
| 115 | 114 | reximdvai 3165 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 116 | 34, 115 | mpd 15 | . . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 117 | 116 | 3exp1 1353 | . . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))) | 
| 118 | 117 | imp 406 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))) | 
| 119 | 118 | rexlimdv 3153 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 120 | 119 | rexlimdvva 3213 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 121 | 5, 120 | mpd 15 | 1
⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |