athgt - Mathbox for Norm Megill

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Theorem athgt 39423

Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
athgt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
athgt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
athgt	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups: 𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴 ∨ ,𝑟,𝑠 𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝) ∨ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 39355	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 3	op0cl 39150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		athgt.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		athgt.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15		athgt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
17	6, 9, 10, 11, 16	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20	3, 14, 15	atcvr0 39254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22		hlol 39327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24	1, 15	atbase 39255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 13, 3	olj02 39192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
28	21, 27	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝))
29	28	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
30	27	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
31	29, 30	bitr3d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32	31	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
33	32	rexbidva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
34	17, 33	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35		simp11 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36	25	3adant3r 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37		simp12r 1288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40		hlpos 39332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
43	1, 12, 2	plelttr 18279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
44	41, 36, 42, 37, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
45	38, 39, 44	mp2and 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
46	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
47	35, 36, 37, 45, 46	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
49	48	hllatd 39330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50		simp3ll 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	50, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52		simp3lr 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
53	1, 15	atbase 39255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
55	1, 13	latjcl 18374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
56	49, 51, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
60	48, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 12, 2	plelttr 18279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
63	60, 56, 61, 57, 62	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
64	58, 59, 63	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
65	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
66	48, 56, 57, 64, 65	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
68	67	hllatd 39330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
70	69, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
72	71, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
73	68, 70, 72, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
75	1, 15	atbase 39255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
77	1, 13	latjcl 18374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
78	68, 73, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
79	1, 4	op1cl 39151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
80	67, 7, 79	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
83	67, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84		simp1lr 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
85	1, 12, 2	plelttr 18279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
86	83, 78, 84, 80, 85	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
87	81, 82, 86	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
88	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 39379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
89	67, 78, 80, 87, 88	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
91	90	reximi 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
93	92	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
94	93	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
96	95	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
97	96	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
98	97	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
99	98	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
100	99	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
101	100	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
102	66, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
103	102	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
104	103	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
105	104	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
106	105	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
107	106	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
108	107	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
109	108	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
110	109	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
111	110	3adant3r 1182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
112	47, 111	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
113	112	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
114	113	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
115	114	reximdvai 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
116	34, 115	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
117	116	3exp1 1353	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
118	117	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
119	118	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
120	119	rexlimdvva 3192	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
121	5, 120	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 class class class wbr 5102 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 Basecbs 17155 lecple 17203 Posetcpo 18244 ltcplt 18245 joincjn 18248 0.cp0 18358 1.cp1 18359 Latclat 18366 OPcops 39138 OLcol 39140 ⋖ ccvr 39228 Atomscatm 39229 HLchlt 39316

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-id 5526 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-proset 18231 df-poset 18250 df-plt 18265 df-lub 18281 df-glb 18282 df-join 18283 df-meet 18284 df-p0 18360 df-p1 18361 df-lat 18367 df-clat 18434 df-oposet 39142 df-ol 39144 df-oml 39145 df-covers 39232 df-ats 39233 df-atl 39264 df-cvlat 39288 df-hlat 39317

This theorem is referenced by: 3dim0 39424

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