athgt - Mathbox for Norm Megill

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Theorem athgt 37207

Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
athgt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
athgt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
athgt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
athgt	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups: 𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴 ∨ ,𝑟,𝑠 𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝) ∨ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem athgt Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 37139	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))))
6		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 37113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 3	op0cl 36935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10		simpl2l 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
11		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		athgt.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		athgt.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
15		athgt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 37163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
17	6, 9, 10, 11, 16	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥))
18		simp11 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp3 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20	3, 14, 15	atcvr0 37039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
21	18, 19, 20	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶𝑝)
22		hlol 37112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24	1, 15	atbase 37040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25	24	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 13, 3	olj02 36977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
27	23, 25, 26	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) = 𝑝)
28	21, 27	breqtrrd 5081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝))
29	28	biantrurd 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥)))
30	27	breq1d 5063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
31	29, 30	bitr3d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
32	31	3expa 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
33	32	rexbidva 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((0.‘𝐾)𝐶((0.‘𝐾) ∨ 𝑝) ∧ ((0.‘𝐾) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥))
34	17, 33	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
35		simp11 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
36	25	3adant3r 1183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
37		simp12r 1289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
38		simp3r 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑥)
39		simp2lr 1243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥(lt‘𝐾)𝑦)
40		hlpos 37117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝐾 ∈ Poset)
42		simp12l 1288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
43	1, 12, 2	plelttr 17850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
44	41, 36, 42, 37, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦))
45	38, 39, 44	mp2and 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑦)
46	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 37163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
47	35, 36, 37, 45, 46	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦))
48		simp11 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
49	48	hllatd 37115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
50		simp3ll 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	50, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
52		simp3lr 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
53	1, 15	atbase 37040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
55	1, 13	latjcl 17945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
56	49, 51, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
57		simp13 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
58		simp3r 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)
59		simp2l 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦(lt‘𝐾)𝑧)
60	48, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝐾 ∈ Poset)
61		simp12 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 12, 2	plelttr 17850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
63	60, 56, 61, 57, 62	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(lt‘𝐾)𝑧) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧))
64	58, 59, 63	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧)
65	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 37163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(lt‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
66	48, 56, 57, 64, 65	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧))
67		simp1ll 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
68	67	hllatd 37115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Lat)
69		simp2ll 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
70	69, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
71		simp2lr 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
72	71, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
73	68, 70, 72, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
74		simp3l 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
75	1, 15	atbase 37040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
77	1, 13	latjcl 17945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
78	68, 73, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
79	1, 4	op1cl 36936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
80	67, 7, 79	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
81		simp3r 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)
82		simp1r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
83	67, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ Poset)
84		simp1lr 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
85	1, 12, 2	plelttr 17850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
86	83, 78, 84, 80, 85	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
87	81, 82, 86	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))
88	1, 12, 2, 13, 14, 15	hlrelat3 37163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
89	67, 78, 80, 87, 88	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))
90		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
91	90	reximi 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ∧ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)(le‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
93	92	3exp 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
94	93	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
95	94	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
96	95	3adant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
97	96	3imp 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
98	97	3adant2l 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
99	98	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
100	99	anim2d 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
101	100	reximdva 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)(le‘𝐾)𝑧) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
102	66, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
103	102	3exp 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
104	103	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
105	104	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
106	105	3adant2l 1180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
107	106	3imp1 1349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
108	107	anim2d 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
109	108	reximdva 3193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
110	109	3adant2l 1180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
111	110	3adant3r 1183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)(le‘𝐾)𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
112	47, 111	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
113	112	3expia 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
114	113	expd 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
115	114	reximdvai 3191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
116	34, 115	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
117	116	3exp1 1354	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))))
118	117	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) → ((((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))))
119	118	rexlimdv 3202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
120	119	rexlimdvva 3213	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∃𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)𝑦) ∧ (𝑦(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
121	5, 120	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝𝐶(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)𝐶((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)𝐶(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1089 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ∃wrex 3062 class class class wbr 5053 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 Basecbs 16760 lecple 16809 Posetcpo 17814 ltcplt 17815 joincjn 17818 0.cp0 17929 1.cp1 17930 Latclat 17937 OPcops 36923 OLcol 36925 ⋖ ccvr 37013 Atomscatm 37014 HLchlt 37101

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-rep 5179 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-op 4548 df-uni 4820 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-id 5455 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-proset 17802 df-poset 17820 df-plt 17836 df-lub 17852 df-glb 17853 df-join 17854 df-meet 17855 df-p0 17931 df-p1 17932 df-lat 17938 df-clat 18005 df-oposet 36927 df-ol 36929 df-oml 36930 df-covers 37017 df-ats 37018 df-atl 37049 df-cvlat 37073 df-hlat 37102

This theorem is referenced by: 3dim0 37208

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