Theorem lhp0lt 39990

Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp0lt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp0lt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhp0lt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		lhp0lt.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexlt 39989	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 39348	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		lhp0lt.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
9	7, 8	op0cl 39170	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	5, 6, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	7, 2	atbase 39275	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	8, 14, 2	atcvr0 39274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
16	5, 13, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
17	7, 1, 14	cvrlt 39256	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
18	5, 10, 12, 16, 17	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20		hlpos 39352	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
23	7, 3	lhpbase 39985	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25	7, 1	plttr 18281	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
26	21, 10, 12, 24, 25	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
27	18, 19, 26	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
28	27	rexlimdv3a 3138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊 → 0 < 𝑊))
29	4, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Posetcpo 18248  ltcplt 18249  0.cp0 18362  OPcops 39158   ⋖ ccvr 39248  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LHypclh 39971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-lhyp 39975

This theorem is referenced by:  lhpn0  39991