Theorem lhp0lt 40108

Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp0lt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp0lt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhp0lt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		lhp0lt.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexlt 40107	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 39467	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		lhp0lt.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
9	7, 8	op0cl 39289	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	5, 6, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	7, 2	atbase 39394	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	8, 14, 2	atcvr0 39393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
16	5, 13, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
17	7, 1, 14	cvrlt 39375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
18	5, 10, 12, 16, 17	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20		hlpos 39471	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
23	7, 3	lhpbase 40103	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25	7, 1	plttr 18252	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
26	21, 10, 12, 24, 25	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
27	18, 19, 26	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
28	27	rexlimdv3a 3137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊 → 0 < 𝑊))
29	4, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  Posetcpo 18219  ltcplt 18220  0.cp0 18333  OPcops 39277   ⋖ ccvr 39367  Atomscatm 39368  HLchlt 39455  LHypclh 40089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18206  df-poset 18225  df-plt 18240  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-p0 18335  df-p1 18336  df-lat 18344  df-clat 18411  df-oposet 39281  df-ol 39283  df-oml 39284  df-covers 39371  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-lhyp 40093

This theorem is referenced by:  lhpn0  40109