Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp0lt 35810
Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp0lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp0lt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhp0lt.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
2 eqid 2771 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 lhp0lt.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexlt 35809 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5 simp1l 1239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlop 35169 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhp0lt.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
97, 8op0cl 34991 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
105, 6, 93syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
117, 2atbase 35096 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant2 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14 eqid 2771 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
158, 14, 2atcvr0 35095 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
165, 13, 15syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
177, 1, 14cvrlt 35077 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
185, 10, 12, 16, 17syl31anc 1479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19 simp3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20 hlpos 35173 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
215, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22 simp1r 1240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊𝐻)
237, 3lhpbase 35805 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
257, 1plttr 17178 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2621, 10, 12, 24, 25syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2718, 19, 26mp2and 679 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
2827rexlimdv3a 3181 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊0 < 𝑊))
294, 28mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  Basecbs 16064  Posetcpo 17148  ltcplt 17149  0.cp0 17245  OPcops 34979  ccvr 35069  Atomscatm 35070  HLchlt 35157  LHypclh 35791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-lhyp 35795
This theorem is referenced by:  lhpn0  35811
  Copyright terms: Public domain W3C validator