Theorem lhp0lt 41252

Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp0lt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp0lt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhp0lt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		lhp0lt.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexlt 41251	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 40611	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		lhp0lt.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
9	7, 8	op0cl 40433	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	5, 6, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	7, 2	atbase 40538	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
15	8, 14, 2	atcvr0 40537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
16	5, 13, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
17	7, 1, 14	cvrlt 40519	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
18	5, 10, 12, 16, 17	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20		hlpos 40615	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
21	5, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
23	7, 3	lhpbase 41247	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25	7, 1	plttr 18543	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
26	21, 10, 12, 24, 25	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
27	18, 19, 26	mp2and 712	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
28	27	rexlimdv3a 3171	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊 → 0 < 𝑊))
29	4, 28	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 < 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Posetcpo 18510  ltcplt 18511  0.cp0 18624  OPcops 40421   ⋖ ccvr 40511  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  LHypclh 41233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-lhyp 41237

This theorem is used by:  lhpn0  41253