Theorem atcvreq0 40066

Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32678 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvreq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcvreq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvreq0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvreq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atcvreq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 40056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
5	4	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7		atcvreq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 40041	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10		atcvreq0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11	1, 9, 10	cvrlt 40022	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
12	8, 11	syl3anl3 1441	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13		atlpos 40053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
16	1, 3	atl0cl 40055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 ∈ 𝐵)
19	8	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	3, 10, 7	atcvr0 40040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23	22	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
25	1, 2, 9, 10	cvrnbtwn3 40028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
26	15, 18, 20, 21, 24, 25	syl131anc 1410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
27	6, 12, 26	mpbi2and 724	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
28	27	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
29	28	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 → 𝑋 = 0 ))
30		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 0 𝐶𝑃))
31	23, 30	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → 𝑋𝐶𝑃))
32	29, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  lecple 17318  Posetcpo 18364  ltcplt 18365  0.cp0 18478   ⋖ ccvr 40014  Atomscatm 40015  AtLatcal 40016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-glb 18402  df-p0 18480  df-lat 18489  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050

This theorem is referenced by:  atncvrN  40067  atcvrj0  40180  1cvrjat  40227