Theorem atcvreq0 40195

Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32837 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvreq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcvreq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvreq0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvreq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atcvreq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 40185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
5	4	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7		atcvreq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 40170	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10		atcvreq0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11	1, 9, 10	cvrlt 40151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
12	8, 11	syl3anl3 1441	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13		atlpos 40182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
16	1, 3	atl0cl 40184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 ∈ 𝐵)
19	8	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	3, 10, 7	atcvr0 40169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23	22	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
25	1, 2, 9, 10	cvrnbtwn3 40157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
26	15, 18, 20, 21, 24, 25	syl131anc 1410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
27	6, 12, 26	mpbi2and 725	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
28	27	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
29	28	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 → 𝑋 = 0 ))
30		breq1 5110	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 0 𝐶𝑃))
31	23, 30	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → 𝑋𝐶𝑃))
32	29, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  lecple 17355  Posetcpo 18401  ltcplt 18402  0.cp0 18515   ⋖ ccvr 40143  Atomscatm 40144  AtLatcal 40145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-glb 18439  df-p0 18517  df-lat 18526  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179

This theorem is used by:  atncvrN  40196  atcvrj0  40309  1cvrjat  40356