Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvreq0 38855
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32214 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvreq0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atcvreq0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvreq0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2725 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
41, 2, 3atl0le 38845 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
543adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
65adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 38830 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
111, 9, 10cvrlt 38811 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
128, 11syl3anl3 1411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
13 atlpos 38842 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 38844 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1817adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1983ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2019adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
223, 10, 7atcvr0 38829 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
23223adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
2423adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 𝐢𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 38817 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2731 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 = 0 )
2928ex 411 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 β†’ 𝑋 = 0 ))
30 breq1 5151 . . 3 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 0 𝐢𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋𝐢𝑃))
3229, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6547  Basecbs 17179  lecple 17239  Posetcpo 18298  ltcplt 18299  0.cp0 18414   β‹– ccvr 38803  Atomscatm 38804  AtLatcal 38805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-glb 18338  df-p0 18416  df-lat 18423  df-covers 38807  df-ats 38808  df-atl 38839
This theorem is referenced by:  atncvrN  38856  atcvrj0  38970  1cvrjat  39017
  Copyright terms: Public domain W3C validator