Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvreq0 38781
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32152 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l = (le‘𝐾)
atcvreq0.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3atl0le 38771 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
543adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 7atbase 38756 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
111, 9, 10cvrlt 38737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
128, 11syl3anl3 1412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13 atlpos 38768 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 38770 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
17163ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0𝐵)
1817adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0𝐵)
1983ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃𝐵)
21 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋𝐵)
223, 10, 7atcvr0 38755 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23223adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 38743 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1381 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2734 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
2928ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))
30 breq1 5146 . . 3 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃0 𝐶𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 = 0𝑋𝐶𝑃))
3229, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5143  cfv 6543  Basecbs 17174  lecple 17234  Posetcpo 18293  ltcplt 18294  0.cp0 18409  ccvr 38729  Atomscatm 38730  AtLatcal 38731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-glb 18333  df-p0 18411  df-lat 18418  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765
This theorem is referenced by:  atncvrN  38782  atcvrj0  38896  1cvrjat  38943
  Copyright terms: Public domain W3C validator