Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvreq0 38270
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 31639 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvreq0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atcvreq0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvreq0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
41, 2, 3atl0le 38260 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
543adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
65adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 38245 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
111, 9, 10cvrlt 38226 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
128, 11syl3anl3 1414 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
13 atlpos 38257 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 38259 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1983ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2019adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
223, 10, 7atcvr0 38244 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
23223adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
2423adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 𝐢𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 38232 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1383 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2738 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 = 0 )
2928ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 β†’ 𝑋 = 0 ))
30 breq1 5151 . . 3 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 0 𝐢𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋𝐢𝑃))
3229, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  Posetcpo 18262  ltcplt 18263  0.cp0 18378   β‹– ccvr 38218  Atomscatm 38219  AtLatcal 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-glb 18302  df-p0 18380  df-lat 18387  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254
This theorem is referenced by:  atncvrN  38271  atcvrj0  38385  1cvrjat  38432
  Copyright terms: Public domain W3C validator