Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvreq0 36556
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 30137 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l = (le‘𝐾)
atcvreq0.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3atl0le 36546 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
543adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
65adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 7atbase 36531 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
9 eqid 2824 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
111, 9, 10cvrlt 36512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
128, 11syl3anl3 1411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13 atlpos 36543 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 36545 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0𝐵)
1817adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0𝐵)
1983ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
2019adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃𝐵)
21 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋𝐵)
223, 10, 7atcvr0 36530 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23223adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
2423adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 36518 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2830 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
2928ex 416 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))
30 breq1 5056 . . 3 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃0 𝐶𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 250 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 = 0𝑋𝐶𝑃))
3229, 31impbid 215 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶𝑃𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  Basecbs 16486  lecple 16575  Posetcpo 17553  ltcplt 17554  0.cp0 17650  ccvr 36504  Atomscatm 36505  AtLatcal 36506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-glb 17588  df-p0 17652  df-lat 17659  df-covers 36508  df-ats 36509  df-atl 36540
This theorem is referenced by:  atncvrN  36557  atcvrj0  36670  1cvrjat  36717
  Copyright terms: Public domain W3C validator