Theorem atcvreq0 37328

Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 30710 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvreq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcvreq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvreq0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvreq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atcvreq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 37318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
5	4	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7		atcvreq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 37303	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10		atcvreq0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11	1, 9, 10	cvrlt 37284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
12	8, 11	syl3anl3 1413	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13		atlpos 37315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
16	1, 3	atl0cl 37317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 ∈ 𝐵)
19	8	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	3, 10, 7	atcvr0 37302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23	22	3adant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
25	1, 2, 9, 10	cvrnbtwn3 37290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
26	15, 18, 20, 21, 24, 25	syl131anc 1382	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
27	6, 12, 26	mpbi2and 709	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
28	27	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
29	28	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 → 𝑋 = 0 ))
30		breq1 5077	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 0 𝐶𝑃))
31	23, 30	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → 𝑋𝐶𝑃))
32	29, 31	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  ltcplt 18026  0.cp0 18141   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-glb 18065  df-p0 18143  df-lat 18150  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312

This theorem is referenced by:  atncvrN  37329  atcvrj0  37442  1cvrjat  37489