Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvreq0 38723
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32145 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvreq0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atcvreq0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvreq0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2727 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
41, 2, 3atl0le 38713 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
543adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 38698 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2727 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
111, 9, 10cvrlt 38679 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
128, 11syl3anl3 1412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
13 atlpos 38710 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 38712 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1817adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1983ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
223, 10, 7atcvr0 38697 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
23223adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 𝐢𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 38685 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1381 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2733 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 = 0 )
2928ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 β†’ 𝑋 = 0 ))
30 breq1 5145 . . 3 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 0 𝐢𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋𝐢𝑃))
3229, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  Basecbs 17171  lecple 17231  Posetcpo 18290  ltcplt 18291  0.cp0 18406   β‹– ccvr 38671  Atomscatm 38672  AtLatcal 38673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-glb 18330  df-p0 18408  df-lat 18415  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707
This theorem is referenced by:  atncvrN  38724  atcvrj0  38838  1cvrjat  38885
  Copyright terms: Public domain W3C validator