Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvreq0 37822
Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 31332 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvreq0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvreq0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atcvreq0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atcvreq0.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvreq0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvreq0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0
StepHypRef Expression
1 atcvreq0.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 atcvreq0.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
41, 2, 3atl0le 37812 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
543adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
65adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
7 atcvreq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 37797 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
10 atcvreq0.c . . . . . . 7 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
111, 9, 10cvrlt 37778 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
128, 11syl3anl3 1415 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃)
13 atlpos 37809 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
161, 3atl0cl 37811 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1817adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 ∈ 𝐡)
1983ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2019adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
223, 10, 7atcvr0 37796 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
23223adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 𝐢𝑃)
2423adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 𝐢𝑃)
251, 2, 9, 10cvrnbtwn3 37784 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
2615, 18, 20, 21, 24, 25syl131anc 1384 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
276, 12, 26mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 0 = 𝑋)
2827eqcomd 2739 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢𝑃) β†’ 𝑋 = 0 )
2928ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 β†’ 𝑋 = 0 ))
30 breq1 5109 . . 3 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 0 𝐢𝑃))
3123, 30syl5ibrcom 247 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋𝐢𝑃))
3229, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  0.cp0 18317   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-glb 18241  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  atncvrN  37823  atcvrj0  37937  1cvrjat  37984
  Copyright terms: Public domain W3C validator