Theorem atcvreq0 39570

Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 32423 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvreq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcvreq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvreq0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvreq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atcvreq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 39560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
5	4	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7		atcvreq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 39545	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10		atcvreq0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11	1, 9, 10	cvrlt 39526	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
12	8, 11	syl3anl3 1416	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13		atlpos 39557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
16	1, 3	atl0cl 39559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 ∈ 𝐵)
19	8	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	3, 10, 7	atcvr0 39544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23	22	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
25	1, 2, 9, 10	cvrnbtwn3 39532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
26	15, 18, 20, 21, 24, 25	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
27	6, 12, 26	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
28	27	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
29	28	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 → 𝑋 = 0 ))
30		breq1 5101	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 0 𝐶𝑃))
31	23, 30	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → 𝑋𝐶𝑃))
32	29, 31	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  ltcplt 18231  0.cp0 18344   ⋖ ccvr 39518  Atomscatm 39519  AtLatcal 39520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-glb 18268  df-p0 18346  df-lat 18355  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554

This theorem is referenced by:  atncvrN  39571  atcvrj0  39684  1cvrjat  39731