Theorem atcvreq0 37255

Description: An element covered by an atom must be zero. (atcveq0 30611 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvreq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvreq0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcvreq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvreq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvreq0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvreq0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvreq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atcvreq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 37245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
5	4	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
7		atcvreq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 37230	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
10		atcvreq0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11	1, 9, 10	cvrlt 37211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
12	8, 11	syl3anl3 1412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑃)
13		atlpos 37242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
16	1, 3	atl0cl 37244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 ∈ 𝐵)
19	8	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	3, 10, 7	atcvr0 37229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
23	22	3adant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 𝐶𝑃)
25	1, 2, 9, 10	cvrnbtwn3 37217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
26	15, 18, 20, 21, 24, 25	syl131anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑃) ↔ 0 = 𝑋))
27	6, 12, 26	mpbi2and 708	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 0 = 𝑋)
28	27	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑃) → 𝑋 = 0 )
29	28	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 → 𝑋 = 0 ))
30		breq1 5073	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 0 𝐶𝑃))
31	23, 30	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → 𝑋𝐶𝑃))
32	29, 31	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶𝑃 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  ltcplt 17941  0.cp0 18056   ⋖ ccvr 37203  Atomscatm 37204  AtLatcal 37205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-glb 17980  df-p0 18058  df-lat 18065  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239

This theorem is referenced by:  atncvrN  37256  atcvrj0  37369  1cvrjat  37416