MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnof Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnof 30008
Description: A linear operator is a mapping. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnof.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnof.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
lnof.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnof ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Proof of Theorem lnof
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnof.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 lnof.2 . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
7 lnof.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7islno 30006 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐿 ↔ (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘§)))))
98simprbda 500 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1093impa 1111 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840   LnOp clno 29993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-lno 29997
This theorem is referenced by:  lno0  30009  lnocoi  30010  lnoadd  30011  lnosub  30012  lnomul  30013  isblo2  30036  blof  30038  nmlno0lem  30046  nmlnoubi  30049  nmlnogt0  30050  lnon0  30051  isblo3i  30054  blocnilem  30057  blocni  30058  htthlem  30170
  Copyright terms: Public domain W3C validator