MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnof 30784
Description: A linear operator is a mapping. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnof.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnof.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lnof.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnof ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)

Proof of Theorem lnof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnof.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 lnof.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
4 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
5 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
6 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
7 lnof.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7islno 30782 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐿 ↔ (𝑇:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑇‘((𝑥( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)( +𝑣𝑈)𝑧)) = ((𝑥( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑦))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑧)))))
98simprbda 498 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
1093impa 1109 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616   LnOp clno 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-lno 30773
This theorem is referenced by:  lno0  30785  lnocoi  30786  lnoadd  30787  lnosub  30788  lnomul  30789  isblo2  30812  blof  30814  nmlno0lem  30822  nmlnoubi  30825  nmlnogt0  30826  lnon0  30827  isblo3i  30830  blocnilem  30833  blocni  30834  htthlem  30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator