Theorem lnof 31236

Description: A linear operator is a mapping. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnof.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnof.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lnof.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnof	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem lnof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnof.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		lnof.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
7		lnof.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	islno 31234	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐿 ↔ (𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑇‘((𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)( +𝑣 ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑦))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))))
9	8	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
10	9	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  NrmCVeccnv 31065   +_𝑣 cpv 31066  BaseSetcba 31067   ·_𝑠OLD cns 31068   LnOp clno 31221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828  df-lno 31225

This theorem is used by:  lno0  31237  lnocoi  31238  lnoadd  31239  lnosub  31240  lnomul  31241  isblo2  31264  blof  31266  nmlno0lem  31274  nmlnoubi  31277  nmlnogt0  31278  lnon0  31279  isblo3i  31282  blocnilem  31285  blocni  31286  htthlem  31398