MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnof Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnof 29996
Description: A linear operator is a mapping. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnof.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnof.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
lnof.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnof ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Proof of Theorem lnof
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnof.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 lnof.2 . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
7 lnof.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7islno 29994 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 ∈ 𝐿 ↔ (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘§)))))
98simprbda 500 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1093impa 1111 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  NrmCVeccnv 29825   +𝑣 cpv 29826  BaseSetcba 29827   ·𝑠OLD cns 29828   LnOp clno 29981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-map 8819  df-lno 29985
This theorem is referenced by:  lno0  29997  lnocoi  29998  lnoadd  29999  lnosub  30000  lnomul  30001  isblo2  30024  blof  30026  nmlno0lem  30034  nmlnoubi  30037  nmlnogt0  30038  lnon0  30039  isblo3i  30042  blocnilem  30045  blocni  30046  htthlem  30158
  Copyright terms: Public domain W3C validator