Theorem lnof 31363

Description: A linear operator is a mapping. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnof.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnof.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lnof.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnof	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem lnof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnof.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		lnof.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
7		lnof.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	islno 31361	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐿 ↔ (𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑇‘((𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)( +𝑣 ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑦))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))))
9	8	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
10	9	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  NrmCVeccnv 31192   +_𝑣 cpv 31193  BaseSetcba 31194   ·_𝑠OLD cns 31195   LnOp clno 31348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-map 8853  df-lno 31352

This theorem is used by:  lno0  31364  lnocoi  31365  lnoadd  31366  lnosub  31367  lnomul  31368  isblo2  31391  blof  31393  nmlno0lem  31401  nmlnoubi  31404  nmlnogt0  31405  lnon0  31406  isblo3i  31409  blocnilem  31412  blocni  31413  htthlem  31525