Theorem ubthlem3 30892

Description: Lemma for ubth 30893. Prove the reverse implication, using nmblolbi 30820. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑧) = (𝑡‘𝑧))
2	1	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
3	2	breq1d 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑))
4	3	cbvralvw 3236	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑)
5		breq2 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
6	5	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
8	7	cbvrexvw 3237	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐)
9		2fveq3 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑥)))
10	9	breq1d 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
11	10	rexralbidv 3222	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
12	8, 11	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
13	12	cbvralvw 3236	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
14		ubth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15		ubth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
16		ubthlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
17		ubthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18		ubthlem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
19		ubthlem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
20		ubthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑)
23	22, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
24		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑑) = (𝑡‘𝑑))
25	24	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑑)))
26	25	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚))
27	26	cbvralvw 3236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚)
28		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
29	28	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
30	29	ralbidv 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
31	27, 30	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
32	31	cbvrabv 3446	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚}
33		breq2 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
34	33	ralbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
35	34	rabbidv 3443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
36	32, 35	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
37	36	cbvmptv 5254	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
38	14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 37	ubthlem1 30890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
39	20	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
40	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
41		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
42		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
43		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
44		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
45	14, 15, 16, 17, 18, 19, 39, 40, 37, 41, 42, 43, 44	ubthlem2 30891	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
46	45	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
47	46	rexlimdva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
48	47	rexlimdvva 3212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
49	38, 48	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
51	13, 50	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
53		bnnv 30886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
54	18, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
55		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
56	14, 55	nvcl 30681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54, 56	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58		remulcl 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	52, 57, 58	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
60	20	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
61	60	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
62	61	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
63		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
64		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
65	14, 63, 64	blof 30805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
66	54, 19, 65	mp3an12 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
69	67, 68	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
70	63, 15	nvcl 30681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
71	19, 70	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
73		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
74	14, 63, 73	nmoxr 30786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
75	54, 19, 74	mp3an12 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
76	67, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
77		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
78	14, 63, 73	nmogtmnf 30790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
79	54, 19, 78	mp3an12 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
81		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
82		xrre 13212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
83	76, 77, 80, 81, 82	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
84	57	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
85		remulcl 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	14, 55, 15, 73, 64, 54, 19	nmblolbi 30820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
89	62, 68, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
90	14, 55	nvge0 30693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
91	54, 90	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
92	57, 91	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
93	92	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
94		lemul1a 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
95	83, 77, 93, 81, 94	syl31anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
96	72, 86, 87, 89, 95	letrd 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
97	96	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3166	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
99		brralrspcev 5202	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
100	59, 98, 99	syl6an 684	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
101	100	ralrimdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
102	101	rexlimdva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
103	51, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3435   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161  -∞cmnf 11294  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℕcn 12267  ℝ⁺crp 13035  MetOpencmopn 21355  NrmCVeccnv 30604  BaseSetcba 30606  norm_CVcnmcv 30610  IndMetcims 30611   normOp_OLD cnmoo 30761   BLnOp cblo 30762  CBanccbn 30882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-dc 10487  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13394  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-lm 23238  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-cfil 25290  df-cau 25291  df-cmet 25292  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-gdiv 30516  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-vs 30619  df-nmcv 30620  df-ims 30621  df-lno 30764  df-nmoo 30765  df-blo 30766  df-0o 30767  df-cbn 30883

This theorem is referenced by:  ubth  30893