Theorem ubthlem3 30901

Description: Lemma for ubth 30902. Prove the reverse implication, using nmblolbi 30829. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑧) = (𝑡‘𝑧))
2	1	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
3	2	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑))
4	3	cbvralvw 3235	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑)
5		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
6	5	ralbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
8	7	cbvrexvw 3236	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐)
9		2fveq3 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑥)))
10	9	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
11	10	rexralbidv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
12	8, 11	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
13	12	cbvralvw 3235	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
14		ubth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15		ubth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
16		ubthlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
17		ubthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18		ubthlem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
19		ubthlem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
20		ubthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑)
23	22, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
24		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑑) = (𝑡‘𝑑))
25	24	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑑)))
26	25	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚))
27	26	cbvralvw 3235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚)
28		2fveq3 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
29	28	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
30	29	ralbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
31	27, 30	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
32	31	cbvrabv 3444	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚}
33		breq2 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
34	33	ralbidv 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
35	34	rabbidv 3441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
36	32, 35	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
37	36	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
38	14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 37	ubthlem1 30899	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
39	20	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
40	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
41		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
42		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
43		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
44		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
45	14, 15, 16, 17, 18, 19, 39, 40, 37, 41, 42, 43, 44	ubthlem2 30900	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
46	45	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
47	46	rexlimdva 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
48	47	rexlimdvva 3211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
49	38, 48	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
51	13, 50	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
53		bnnv 30895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
54	18, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
55		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
56	14, 55	nvcl 30690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54, 56	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58		remulcl 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	52, 57, 58	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
60	20	sselda 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
61	60	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
62	61	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
63		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
64		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
65	14, 63, 64	blof 30814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
66	54, 19, 65	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
69	67, 68	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
70	63, 15	nvcl 30690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
71	19, 70	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
73		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
74	14, 63, 73	nmoxr 30795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
75	54, 19, 74	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
76	67, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
77		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
78	14, 63, 73	nmogtmnf 30799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
79	54, 19, 78	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
81		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
82		xrre 13208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
83	76, 77, 80, 81, 82	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
84	57	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
85		remulcl 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	14, 55, 15, 73, 64, 54, 19	nmblolbi 30829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
89	62, 68, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
90	14, 55	nvge0 30702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
91	54, 90	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
92	57, 91	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
93	92	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
94		lemul1a 12119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
95	83, 77, 93, 81, 94	syl31anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
96	72, 86, 87, 89, 95	letrd 11416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
97	96	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3165	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
99		brralrspcev 5208	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
100	59, 98, 99	syl6an 684	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
101	100	ralrimdva 3152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
102	101	rexlimdva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
103	51, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℝ⁺crp 13032  MetOpencmopn 21372  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  norm_CVcnmcv 30619  IndMetcims 30620   normOp_OLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771  CBanccbn 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-dc 10484  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-blo 30775  df-0o 30776  df-cbn 30892

This theorem is referenced by:  ubth  30902