Theorem ubthlem3 30943

Description: Lemma for ubth 30944. Prove the reverse implication, using nmblolbi 30871. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑧) = (𝑡‘𝑧))
2	1	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
3	2	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑))
4	3	cbvralvw 3215	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑)
5		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
6	5	ralbidv 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
8	7	cbvrexvw 3216	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐)
9		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑥)))
10	9	breq1d 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
11	10	rexralbidv 3203	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
12	8, 11	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
13	12	cbvralvw 3215	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
14		ubth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15		ubth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
16		ubthlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
17		ubthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18		ubthlem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
19		ubthlem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
20		ubthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑)
23	22, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
24		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑑) = (𝑡‘𝑑))
25	24	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑑)))
26	25	breq1d 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚))
27	26	cbvralvw 3215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚)
28		2fveq3 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
29	28	breq1d 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
30	29	ralbidv 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
31	27, 30	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
32	31	cbvrabv 3399	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚}
33		breq2 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
34	33	ralbidv 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
35	34	rabbidv 3396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
36	32, 35	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
37	36	cbvmptv 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
38	14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 37	ubthlem1 30941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
39	20	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
40	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
41		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
42		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
43		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
44		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
45	14, 15, 16, 17, 18, 19, 39, 40, 37, 41, 42, 43, 44	ubthlem2 30942	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
46	45	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
47	46	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
48	47	rexlimdvva 3194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
49	38, 48	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
51	13, 50	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
53		bnnv 30937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
54	18, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
55		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
56	14, 55	nvcl 30732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54, 56	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58		remulcl 11123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	52, 57, 58	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
60	20	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
61	60	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
62	61	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
63		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
64		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
65	14, 63, 64	blof 30856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
66	54, 19, 65	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
69	67, 68	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
70	63, 15	nvcl 30732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
71	19, 70	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
73		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
74	14, 63, 73	nmoxr 30837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
75	54, 19, 74	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
76	67, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
77		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
78	14, 63, 73	nmogtmnf 30841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
79	54, 19, 78	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
81		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
82		xrre 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
83	76, 77, 80, 81, 82	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
84	57	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
85		remulcl 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	83, 84, 85	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	14, 55, 15, 73, 64, 54, 19	nmblolbi 30871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
89	62, 68, 88	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
90	14, 55	nvge0 30744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
91	54, 90	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
92	57, 91	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
93	92	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
94		lemul1a 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
95	83, 77, 93, 81, 94	syl31anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
96	72, 86, 87, 89, 95	letrd 11303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
97	96	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
99		brralrspcev 5145	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
100	59, 98, 99	syl6an 685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
101	100	ralrimdva 3137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
102	101	rexlimdva 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
103	51, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℝ⁺crp 12942  MetOpencmopn 21342  NrmCVeccnv 30655  BaseSetcba 30657  norm_CVcnmcv 30661  IndMetcims 30662   normOp_OLD cnmoo 30812   BLnOp cblo 30813  CBanccbn 30933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-dc 10368  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-lno 30815  df-nmoo 30816  df-blo 30817  df-0o 30818  df-cbn 30934

This theorem is referenced by:  ubth  30944