Theorem ubthlem3 28421

Description: Lemma for ubth 28422. Prove the reverse implication, using nmblolbi 28348. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑧) = (𝑡‘𝑧))
2	1	fveq2d 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
3	2	breq1d 4937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑))
4	3	cbvralv 3380	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑)
5		breq2 4931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
6	5	ralbidv 3144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
7	4, 6	syl5bb 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
8	7	cbvrexv 3381	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐)
9		2fveq3 6502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑥)))
10	9	breq1d 4937	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
11	10	rexralbidv 3243	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
12	8, 11	syl5bb 275	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
13	12	cbvralv 3380	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
14		ubth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15		ubth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
16		ubthlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
17		ubthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18		ubthlem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
19		ubthlem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
20		ubthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	20	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑)
23	22, 13	sylib 210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
24		fveq1 6496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑑) = (𝑡‘𝑑))
25	24	fveq2d 6501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑑)))
26	25	breq1d 4937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚))
27	26	cbvralv 3380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚)
28		2fveq3 6502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
29	28	breq1d 4937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
30	29	ralbidv 3144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
31	27, 30	syl5bb 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
32	31	cbvrabv 3409	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚}
33		breq2 4931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
34	33	ralbidv 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
35	34	rabbidv 3400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
36	32, 35	syl5eq 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
37	36	cbvmptv 5026	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
38	14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 37	ubthlem1 28419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
39	20	ad3antrrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
40	23	ad2antrr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
41		simplrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
42		simplrr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
43		simprl 758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
44		simprr 760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
45	14, 15, 16, 17, 18, 19, 39, 40, 37, 41, 42, 43, 44	ubthlem2 28420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
46	45	expr 449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
47	46	rexlimdva 3226	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
48	47	rexlimdvva 3236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
49	38, 48	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
50	49	ex 405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
51	13, 50	syl5bir 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
52		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
53		bnnv 28415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
54	18, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
55		eqid 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
56	14, 55	nvcl 28209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54, 56	mpan 677	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58		remulcl 10416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	52, 57, 58	syl2an 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
60	20	sselda 3857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
61	60	adantlr 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
62	61	ad2ant2r 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
63		eqid 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
64		eqid 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
65	14, 63, 64	blof 28333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
66	54, 19, 65	mp3an12 1430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		simplr 756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
69	67, 68	ffvelrnd 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
70	63, 15	nvcl 28209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
71	19, 70	mpan 677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
73		eqid 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
74	14, 63, 73	nmoxr 28314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
75	54, 19, 74	mp3an12 1430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
76	67, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
77		simpllr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
78	14, 63, 73	nmogtmnf 28318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
79	54, 19, 78	mp3an12 1430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
81		simprr 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
82		xrre 12376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
83	76, 77, 80, 81, 82	syl22anc 826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
84	57	ad2antlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
85		remulcl 10416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	83, 84, 85	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	59	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
88	14, 55, 15, 73, 64, 54, 19	nmblolbi 28348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
89	62, 68, 88	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
90	14, 55	nvge0 28221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
91	54, 90	mpan 677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
92	57, 91	jca 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
93	92	ad2antlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
94		lemul1a 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
95	83, 77, 93, 81, 94	syl31anc 1353	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
96	72, 86, 87, 89, 95	letrd 10593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
97	96	expr 449	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
99		brralrspcev 4987	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
100	59, 98, 99	syl6an 671	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
101	100	ralrimdva 3136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
102	101	rexlimdva 3226	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
103	51, 102	impbid 204	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3085  ∃wrex 3086  {crab 3089   ⊆ wss 3828   class class class wbr 4927   ↦ cmpt 5006  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974  ℝcr 10330  0cc0 10331   · cmul 10336  -∞cmnf 10468  ℝ^*cxr 10469   < clt 10470   ≤ cle 10471  ℕcn 11435  ℝ⁺crp 12201  MetOpencmopn 20231  NrmCVeccnv 28132  BaseSetcba 28134  norm_CVcnmcv 28138  IndMetcims 28139   normOp_OLD cnmoo 28289   BLnOp cblo 28290  CBanccbn 28411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-dc 9662  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-addf 10410  ax-mulf 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ico 12557  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-rest 16546  df-topgen 16567  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-top 21200  df-topon 21217  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-lm 21535  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-cfil 23555  df-cau 23556  df-cmet 23557  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ginv 28043  df-gdiv 28044  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-vs 28147  df-nmcv 28148  df-ims 28149  df-lno 28292  df-nmoo 28293  df-blo 28294  df-0o 28295  df-cbn 28412

This theorem is referenced by:  ubth  28422