Theorem ubthlem3 31520

Description: Lemma for ubth 31521. Prove the reverse implication, using nmblolbi 31448. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑧) = (𝑡‘𝑧))
2	1	fveq2d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
3	2	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑))
4	3	cbvralvw 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑)
5		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
6	5	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐))
8	7	cbvrexvw 3245	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐)
9		2fveq3 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑥)))
10	9	breq1d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
11	10	rexralbidv 3232	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
12	8, 11	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
13	12	cbvralvw 3244	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
14		ubth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15		ubth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
16		ubthlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
17		ubthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18		ubthlem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
19		ubthlem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
20		ubthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22	13	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
23		fveq1 6913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢‘𝑑) = (𝑡‘𝑑))
24	23	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑑)))
25	24	breq1d 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚))
26	25	cbvralvw 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚)
27		2fveq3 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑧)))
28	27	breq1d 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
29	28	ralbidv 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
30	26, 29	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚))
31	30	cbvrabv 3426	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚}
32		breq2 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
33	32	ralbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘))
34	33	rabbidv 3423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
35	31, 34	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
36	35	cbvmptv 5213	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
37	14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 36	ubthlem1 31518	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
38	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
39	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
40		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
41		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
42		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
43		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
44	14, 15, 16, 17, 18, 19, 38, 39, 36, 40, 41, 42, 43	ubthlem2 31519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
45	44	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
46	45	rexlimdva 3167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
47	46	rexlimdvva 3223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
48	37, 47	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
49	48	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑢‘𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
50	13, 49	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
51		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
52		bnnv 31514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
53	18, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
54		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
55	14, 54	nvcl 31309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
56	53, 55	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57		remulcl 11322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
58	51, 56, 57	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
59	20	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
60	59	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
61	60	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
62		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
63		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
64	14, 62, 63	blof 31433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
65	53, 19, 64	mp3an12 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
66	61, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
67		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
68	66, 67	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
69	62, 15	nvcl 31309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
70	19, 69	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
71	68, 70	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
72		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
73	14, 62, 72	nmoxr 31414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
74	53, 19, 73	mp3an12 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
75	66, 74	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
76		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
77	14, 62, 72	nmogtmnf 31418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
78	53, 19, 77	mp3an12 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
79	66, 78	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
80		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
81		xrre 13337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
82	75, 76, 79, 80, 81	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
83	56	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
84		remulcl 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	82, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
87	14, 54, 15, 72, 63, 53, 19	nmblolbi 31448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
88	61, 67, 87	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
89	14, 54	nvge0 31321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
90	53, 89	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
91	56, 90	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
92	91	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
93		lemul1a 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
94	82, 76, 92, 80, 93	syl31anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
95	71, 85, 86, 88, 94	letrd 11504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
96	95	expr 462	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
97	96	ralimdva 3178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))))
98		brralrspcev 5169	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
99	58, 97, 98	syl6an 697	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
100	99	ralrimdva 3166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
101	100	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
102	50, 101	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242  -∞cmnf 11378  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   ≤ cle 11381  ℕcn 12373  ℝ⁺crp 13158  MetOpencmopn 21710  NrmCVeccnv 31232  BaseSetcba 31234  norm_CVcnmcv 31238  IndMetcims 31239   normOp_OLD cnmoo 31389   BLnOp cblo 31390  CBanccbn 31510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-dc 10561  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ico 13520  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-rest 17634  df-topgen 17655  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-top 23256  df-topon 23273  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-lm 23591  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-cfil 25620  df-cau 25621  df-cmet 25622  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-gdiv 31144  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-vs 31247  df-nmcv 31248  df-ims 31249  df-lno 31392  df-nmoo 31393  df-blo 31394  df-0o 31395  df-cbn 31511

This theorem is used by:  ubth  31521