Theorem cfsetsnfsetf1o 46502

Description: The mapping of the class of singleton functions into the class of constant functions is a bijection. (Contributed by AV, 14-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cfsetsnfsetfv.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)}
cfsetsnfsetfv.g	⊢ 𝐺 = {𝑥 ∣ 𝑥:{𝑌}⟶𝐵}
cfsetsnfsetfv.h	⊢ 𝐻 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
cfsetsnfsetf1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐻:𝐺–1-1-onto→𝐹)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑉   𝑔,𝑌   𝐴,𝑏,𝑓,𝑧   𝑥,𝐵   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓   𝑔,𝐹   𝐺,𝑎,𝑏,𝑧   𝑉,𝑎,𝑏,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑓,𝑧   𝑥,𝑌,𝑔,𝑏   𝑓,𝑔,𝑧   𝑧,𝐵   𝑥,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑔)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔,𝑎)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem cfsetsnfsetf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfsetsnfsetfv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)}
2		cfsetsnfsetfv.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {𝑥 ∣ 𝑥:{𝑌}⟶𝐵}
3		cfsetsnfsetfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑌)))
4	1, 2, 3	cfsetsnfsetf1 46500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐻:𝐺–1-1→𝐹)
5	1, 2, 3	cfsetsnfsetfo 46501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐻:𝐺–onto→𝐹)
6		df-f1o 6550	. 2 ⊢ (𝐻:𝐺–1-1-onto→𝐹 ↔ (𝐻:𝐺–1-1→𝐹 ∧ 𝐻:𝐺–onto→𝐹))
7	4, 5, 6	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐻:𝐺–1-1-onto→𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {csn 4625   ↦ cmpt 5227  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  fsetprcnexALT  46503