| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | abanssl 4311 |
. 2
⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} |
| 2 | | n0 4353 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔
∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 3 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑦 ∈ V |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ V) |
| 5 | | fsetsnprcnex 47067 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∉ V) |
| 6 | 4, 5 | sylan 580 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∉ V) |
| 7 | | df-nel 3047 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∈ V) |
| 8 | 6, 7 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∉ V) → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∈ V) |
| 9 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} |
| 10 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} |
| 11 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))) = (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))) |
| 12 | 9, 10, 11 | cfsetsnfsetf1o 47073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))):{𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵}–1-1-onto→{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)}) |
| 13 | 12 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))):{𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵}–1-1-onto→{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)}) |
| 14 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∉ V) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))):{𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵}–1-1-onto→{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)}) |
| 15 | | f1ovv 7982 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))):{𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵}–1-1-onto→{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} → ({𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∈ V ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V)) |
| 16 | 15 | bicomd 223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ↦ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑦))):{𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵}–1-1-onto→{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∈ V)) |
| 17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∉ V) → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:{𝑦}⟶𝐵} ∈ V)) |
| 18 | 8, 17 | mtbird 325 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∉ V) → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V) |
| 19 | 18 | exp31 419 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∉ V → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V))) |
| 20 | 19 | exlimiv 1930 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∉ V → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V))) |
| 21 | 2, 20 | sylbi 217 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∉ V → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V))) |
| 22 | 21 | impcom 407 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V)) |
| 23 | 22 | imp 406 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V) |
| 24 | | df-nel 3047 |
. . 3
⊢ ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∈ V) |
| 25 | 23, 24 | sylibr 234 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∉ V) |
| 26 | | prcssprc 5327 |
. 2
⊢ (({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) = 𝑏)} ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V) |
| 27 | 1, 25, 26 | sylancr 587 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V) |