Theorem clsocv 25207

Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clsocv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

Proof of Theorem clsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphngp 25130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		ngptps 24546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5		clsocv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		clsocv.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	5, 6	istps 22877	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
8	4, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9		topontop 22856	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
12		toponuni 22857	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
14	11, 13	sseqtrd 4000	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	sscls 22999	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
17	10, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18		clsocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
19	18	ocv2ss 21638	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
21	15	clsss3 23002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
22	10, 14, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
23	22, 13	sseqtrrd 4001	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
25	5, 18	ocvss 21635	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉)
27	26	sselda 3963	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
28		dfss2 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
29	24, 28	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
30	29	ineq1d 4199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31		dfrab3 4299	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	31	ineq2i 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33		inass 4208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34	32, 33	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35		dfrab3 4299	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
36	30, 34, 35	3eqtr4g 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
37	15	clscld 22990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
38	10, 14, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
42	41	mptiniseg 6233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
47	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
48	47, 47, 27	cnmptc 23605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	47	cnmptid 23604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	6, 44, 45, 46, 47, 48, 49	cnmpt1ip 25204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
51	44	cnfldhaus 24728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52		cphclm 25146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
54	53	clm0 25028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57		0cn 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
58	56, 57	eqeltrrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
59		unicntop 24729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
60	59	sncld 23314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
61	51, 58, 60	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
62		cnclima 23211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
63	50, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
64	43, 63	eqeltrrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
65		incld 22986	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
66	39, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
67	36, 66	eqeltrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
68	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
69		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
70	5, 45, 53, 69, 18	ocvi 21634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
71	70	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
73		ssrab 4053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
74	68, 72, 73	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
75	15	clsss2 23015	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
76	67, 74, 75	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
77		ssrab2 4060	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
79	76, 78	eqssd 3981	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
80		rabid2 3454	. . . 4 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
81	79, 80	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
82	5, 45, 53, 69, 18	elocv 21633	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
83	24, 27, 81, 82	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
84	20, 83	eqelssd 3985	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∀wral 3052  {crab 3420  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∪ cuni 4888   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279  ·_𝑖cip 17281  TopOpenctopn 17440  0_gc0g 17458  ℂ_fldccnfld 21320  ocvcocv 21625  Topctop 22836  TopOnctopon 22853  TopSpctps 22875  Clsdccld 22959  clsccl 22961   Cn ccn 23167  Hauscha 23251  NrmGrpcngp 24521  ℂModcclm 25018  ℂPreHilccph 25123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-staf 20804  df-srng 20805  df-lmod 20824  df-lmhm 20985  df-lvec 21066  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-phl 21591  df-ipf 21592  df-ocv 21628  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-cls 22964  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-t1 23257  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-tng 24528  df-nlm 24530  df-clm 25019  df-cph 25125  df-tcph 25126

This theorem is referenced by: (None)