MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsocv 23854
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clsocv ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 23778 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 ngptps 23208 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5 clsocv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 clsocv.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
75, 6istps 21539 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
84, 7sylib 221 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9 topontop 21518 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11 simpr 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
12 toponuni 21519 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
138, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
1411, 13sseqtrd 3955 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 𝐽)
15 eqid 2798 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
1615sscls 21661 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1710, 14, 16syl2anc 587 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18 clsocv.o . . . 4 𝑂 = (ocv‘𝑊)
1918ocv2ss 20362 . . 3 (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2017, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2115clsss3 21664 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2210, 14, 21syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2322, 13sseqtrrd 3956 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
2423adantr 484 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
255, 18ocvss 20359 . . . . 5 (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉
2625a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉)
2726sselda 3915 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥𝑉)
28 df-ss 3898 . . . . . . . . . 10 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
2924, 28sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
3029ineq1d 4138 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31 dfrab3 4230 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3231ineq2i 4136 . . . . . . . . 9 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33 inass 4146 . . . . . . . . 9 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
3432, 33eqtr4i 2824 . . . . . . . 8 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35 dfrab3 4230 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3630, 34, 353eqtr4g 2858 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3715clscld 21652 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3810, 14, 37syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3938adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40 fvex 6658 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
4241mptiniseg 6060 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
4340, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
46 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
478adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
4847, 47, 27cnmptc 22267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4947cnmptid 22266 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 23851 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5144cnfldhaus 23390 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52 cphclm 23794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5453clm0 23677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57 0cn 10622 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
5856, 57eqeltrrdi 2899 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
59 unicntop 23391 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6059sncld 21976 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
6151, 58, 60sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
62 cnclima 21873 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6350, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6443, 63eqeltrrid 2895 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
65 incld 21648 . . . . . . . 8 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6639, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6736, 66eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
6817adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
69 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
705, 45, 53, 69, 18ocvi 20358 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑂𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7170ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑂𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7271adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
73 ssrab 4000 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7468, 72, 73sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7515clsss2 21677 . . . . . 6 (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7667, 74, 75syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
77 ssrab2 4007 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
7877a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
7976, 78eqssd 3932 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
80 rabid2 3334 . . . 4 (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8179, 80sylib 221 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
825, 45, 53, 69, 18elocv 20357 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8324, 27, 81, 82syl3anbrc 1340 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
8420, 83eqelssd 3936 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  {cab 2776  wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  cin 3880  wss 3881  {csn 4525   cuni 4800  cmpt 5110  ccnv 5518  cima 5522  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  ·𝑖cip 16562  TopOpenctopn 16687  0gc0g 16705  fldccnfld 20091  ocvcocv 20349  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  TopSpctps 21537  Clsdccld 21621  clsccl 21623   Cn ccn 21829  Hauscha 21913  NrmGrpcngp 23184  ℂModcclm 23667  ℂPreHilccph 23771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-phl 20315  df-ipf 20316  df-ocv 20352  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-cls 21626  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-t1 21919  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-tng 23191  df-nlm 23193  df-clm 23668  df-cph 23773  df-tcph 23774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator