Theorem clsocv 25481

Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clsocv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

Proof of Theorem clsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphngp 25404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		ngptps 24831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5		clsocv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		clsocv.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	5, 6	istps 23162	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
8	4, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9		topontop 23141	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
12		toponuni 23142	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
13	8, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
14	11, 13	sseqtrd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	sscls 23284	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
17	10, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18		clsocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
19	18	ocv2ss 21889	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
21	15	clsss3 23287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
22	10, 14, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
23	22, 13	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
25	5, 18	ocvss 21886	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉)
27	26	sselda 3931	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
28		dfss2 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
29	24, 28	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
30	29	ineq1d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31		dfrab3 4265	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	31	ineq2i 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33		inass 4173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34	32, 33	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35		dfrab3 4265	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
36	30, 34, 35	3eqtr4g 2820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
37	15	clscld 23275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
38	10, 14, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40		fvex 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
42	41	mptiniseg 6235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
47	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
48	47, 47, 27	cnmptc 23891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	47	cnmptid 23890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	6, 44, 45, 46, 47, 48, 49	cnmpt1ip 25478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
51	44	cnfldhaus 25013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52		cphclm 25420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
54	53	clm0 25303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
55	52, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57		0cn 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
58	56, 57	eqeltrrdi 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
59		unicntop 25014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
60	59	sncld 23599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
61	51, 58, 60	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
62		cnclima 23496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
63	50, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
64	43, 63	eqeltrrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
65		incld 23271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
66	39, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
67	36, 66	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
68	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
69		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
70	5, 45, 53, 69, 18	ocvi 21885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
71	70	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
72	71	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
73		ssrab 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
74	68, 72, 73	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
75	15	clsss2 23300	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
76	67, 74, 75	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
77		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
79	76, 78	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
80		rabid2 3444	. . . 4 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
81	79, 80	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
82	5, 45, 53, 69, 18	elocv 21884	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
83	24, 27, 81, 82	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
84	20, 83	eqelssd 3952	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  Basecbs 17304  Scalarcsca 17348  ·_𝑖cip 17350  TopOpenctopn 17509  0_gc0g 17527  ℂ_fldccnfld 21588  ocvcocv 21876  Topctop 23121  TopOnctopon 23138  TopSpctps 23160  Clsdccld 23244  clsccl 23246   Cn ccn 23452  Hauscha 23536  NrmGrpcngp 24806  ℂModcclm 25293  ℂPreHilccph 25397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-staf 21008  df-srng 21009  df-lmod 21049  df-lmhm 21209  df-lvec 21290  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-phl 21842  df-ipf 21843  df-ocv 21879  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-cls 23249  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-t1 23542  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-nm 24811  df-ngp 24812  df-tng 24813  df-nlm 24815  df-clm 25294  df-cph 25399  df-tcph 25400

This theorem is used by: (None)