MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsocv 25222
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clsocv ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 25145 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 ngptps 24555 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5 clsocv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 clsocv.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
75, 6istps 22880 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
84, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9 topontop 22859 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11 simpr 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
12 toponuni 22860 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
138, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
1411, 13sseqtrd 4017 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 𝐽)
15 eqid 2725 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
1615sscls 23004 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1710, 14, 16syl2anc 582 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18 clsocv.o . . . 4 𝑂 = (ocv‘𝑊)
1918ocv2ss 21622 . . 3 (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2017, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2115clsss3 23007 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2210, 14, 21syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2322, 13sseqtrrd 4018 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
2423adantr 479 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
255, 18ocvss 21619 . . . . 5 (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉
2625a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉)
2726sselda 3976 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥𝑉)
28 dfss2 3962 . . . . . . . . . 10 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
2924, 28sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
3029ineq1d 4209 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31 dfrab3 4308 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3231ineq2i 4207 . . . . . . . . 9 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33 inass 4218 . . . . . . . . 9 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
3432, 33eqtr4i 2756 . . . . . . . 8 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35 dfrab3 4308 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3630, 34, 353eqtr4g 2790 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3715clscld 22995 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3810, 14, 37syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3938adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40 fvex 6909 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
4241mptiniseg 6245 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
4340, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
46 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
478adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
4847, 47, 27cnmptc 23610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4947cnmptid 23609 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 25219 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5144cnfldhaus 24745 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52 cphclm 25161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5453clm0 25043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57 0cn 11238 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
5856, 57eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
59 unicntop 24746 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6059sncld 23319 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
6151, 58, 60sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
62 cnclima 23216 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6350, 61, 62syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6443, 63eqeltrrid 2830 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
65 incld 22991 . . . . . . . 8 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6639, 64, 65syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6736, 66eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
6817adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
69 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
705, 45, 53, 69, 18ocvi 21618 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑂𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7170ralrimiva 3135 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑂𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7271adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
73 ssrab 4066 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7468, 72, 73sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7515clsss2 23020 . . . . . 6 (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7667, 74, 75syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
77 ssrab2 4073 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
7877a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
7976, 78eqssd 3994 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
80 rabid2 3452 . . . 4 (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8179, 80sylib 217 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
825, 45, 53, 69, 18elocv 21617 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8324, 27, 81, 82syl3anbrc 1340 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
8420, 83eqelssd 3998 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  {csn 4630   cuni 4909  cmpt 5232  ccnv 5677  cima 5681  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239  ·𝑖cip 17241  TopOpenctopn 17406  0gc0g 17424  fldccnfld 21296  ocvcocv 21609  Topctop 22839  TopOnctopon 22856  TopSpctps 22878  Clsdccld 22964  clsccl 22966   Cn ccn 23172  Hauscha 23256  NrmGrpcngp 24530  ℂModcclm 25033  ℂPreHilccph 25138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-phl 21575  df-ipf 21576  df-ocv 21612  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-cls 22969  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-t1 23262  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-tng 24537  df-nlm 24539  df-clm 25034  df-cph 25140  df-tcph 25141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator