Theorem clsocv 25462

Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clsocv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

Proof of Theorem clsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphngp 25385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		ngptps 24812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5		clsocv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		clsocv.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	5, 6	istps 23143	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
8	4, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9		topontop 23122	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
12		toponuni 23123	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
13	8, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 = ∪ 𝐽)
14	11, 13	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	sscls 23265	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
17	10, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18		clsocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
19	18	ocv2ss 21875	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂‘𝑆))
21	15	clsss3 23268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
22	10, 14, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
23	22, 13	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
25	5, 18	ocvss 21872	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑆) ⊆ 𝑉)
27	26	sselda 3938	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
28		dfss2 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
29	24, 28	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
30	29	ineq1d 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31		dfrab3 4272	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	31	ineq2i 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33		inass 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34	32, 33	eqtr4i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35		dfrab3 4272	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
36	30, 34, 35	3eqtr4g 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
37	15	clscld 23256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
38	10, 14, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
42	41	mptiniseg 6242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
43	40, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
47	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
48	47, 47, 27	cnmptc 23872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	47	cnmptid 23871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	6, 44, 45, 46, 47, 48, 49	cnmpt1ip 25459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
51	44	cnfldhaus 24994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52		cphclm 25401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
54	53	clm0 25284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
55	52, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57		0cn 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
58	56, 57	eqeltrrdi 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
59		unicntop 24995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
60	59	sncld 23580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
61	51, 58, 60	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
62		cnclima 23477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
63	50, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (◡(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
64	43, 63	eqeltrrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
65		incld 23252	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
66	39, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
67	36, 66	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
68	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
69		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
70	5, 45, 53, 69, 18	ocvi 21871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
71	70	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
72	71	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
73		ssrab 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
74	68, 72, 73	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
75	15	clsss2 23281	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
76	67, 74, 75	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
77		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
79	76, 78	eqssd 3955	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
80		rabid2 3451	. . . 4 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
81	79, 80	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
82	5, 45, 53, 69, 18	elocv 21870	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
83	24, 27, 81, 82	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
84	20, 83	eqelssd 3959	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337  ·_𝑖cip 17339  TopOpenctopn 17498  0_gc0g 17516  ℂ_fldccnfld 21574  ocvcocv 21862  Topctop 23102  TopOnctopon 23119  TopSpctps 23141  Clsdccld 23225  clsccl 23227   Cn ccn 23433  Hauscha 23517  NrmGrpcngp 24787  ℂModcclm 25274  ℂPreHilccph 25378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-staf 20994  df-srng 20995  df-lmod 21035  df-lmhm 21195  df-lvec 21276  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-phl 21828  df-ipf 21829  df-ocv 21865  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-cls 23230  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-t1 23523  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-nm 24792  df-ngp 24793  df-tng 24794  df-nlm 24796  df-clm 25275  df-cph 25380  df-tcph 25381

This theorem is used by: (None)