MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reipcl 23809
Description: An inner product of an element with itself is real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reipcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
reipcl.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
reipcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reipcl
StepHypRef Expression
1 reipcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 reipcl.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2824 . . 3 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
41, 2, 3nmsq 23806 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
5 cphngp 23785 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
61, 3nmcl 23229 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐴) ∈ ℝ)
75, 6sylan 583 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐴) ∈ ℝ)
87resqcld 13616 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrrd 2917 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  2c2 11689  cexp 13434  Basecbs 16483  ·𝑖cip 16570  normcnm 23190  NrmGrpcngp 23191  ℂPreHilccph 23778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-lmhm 19794  df-lvec 19875  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-cnfld 20099  df-phl 20322  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-xms 22934  df-ms 22935  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nlm 23200  df-cph 23780
This theorem is referenced by:  cphipval2  23852  cphipval  23854  pjthlem1  24048
  Copyright terms: Public domain W3C validator