Theorem reipcl 23216

Description: An inner product of an element with itself is real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reipcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
reipcl.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
reipcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reipcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		reipcl.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2771	. . 3 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	nmsq 23213	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
5		cphngp 23192	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6	1, 3	nmcl 22640	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐴) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 569	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 13242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9	4, 8	eqeltrrd 2851	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  2c2 11276  ↑cexp 13067  Basecbs 16064  ·_𝑖cip 16154  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  ℂPreHilccph 23185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-phl 20188  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nlm 22611  df-cph 23187

This theorem is referenced by:  cphipval2  23259  cphipval  23261  pjthlem1  23427