Theorem cnmpt2ip 24612

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 23026 which cannot be used directly because ·_𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c	⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cnmpt1ip.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2ip.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2ip.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ip.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2ip	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt2ip.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		txtopon 22942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
5		cnmpt1ip.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
6		cphngp 24537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7		ngptps 23958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		cnmpt1ip.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
11	9, 10	istps 22283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
12	8, 11	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
13		cnmpt2ip.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
14		cnf2 22600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
15	4, 12, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
16		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)
17	16	fmpo 8000	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
18	15, 17	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	r19.21bi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	r19.21bi 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
21		cnmpt2ip.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
22		cnf2 22600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
23	4, 12, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
24		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵)
25	24	fmpo 8000	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
26	23, 25	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
27	26	r19.21bi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
28	27	r19.21bi 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
29		cnmpt1ip.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
30		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (·if‘𝑊) = (·if‘𝑊)
31	9, 29, 30	ipfval 21053	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
32	20, 28, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
33	32	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
34	33	mpoeq3dva 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
35		cnmpt1ip.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
36	30, 10, 35	ipcn 24610	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
37	5, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
38	1, 2, 13, 21, 37	cnmpt22f 23026	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
39	34, 38	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   × cxp 5631  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Basecbs 17083  ·_𝑖cip 17138  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  ·_ifcipf 21029  TopOnctopon 22259  TopSpctps 22281   Cn ccn 22575   ×_t ctx 22911  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-ipf 21031  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-tng 23940  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532  df-tcph 24533

This theorem is referenced by: (None)