MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2ip 24635
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 23049 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
cnmpt1ip.c 𝐢 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnmpt1ip.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cnmpt1ip.r (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
cnmpt1ip.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2ip.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2ip.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ip.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 txtopon 22965 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
6 cphngp 24560 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
7 ngptps 23981 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ TopSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
119, 10istps 22306 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
128, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
14 cnf2 22623 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
154, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1716fmpo 8004 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
1815, 17sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1918r19.21bi 3233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2019r19.21bi 3233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
22 cnf2 22623 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
234, 12, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
24 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2524fmpo 8004 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
2623, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2726r19.21bi 3233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2827r19.21bi 3233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
30 eqid 2733 . . . . . 6 (Β·ifβ€˜π‘Š) = (Β·ifβ€˜π‘Š)
319, 29, 30ipfval 21076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
3220, 28, 31syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
33323impa 1111 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
3433mpoeq3dva 7438 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)))
35 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐢 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3630, 10, 35ipcn 24633 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Β·ifβ€˜π‘Š) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐢))
375, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β·ifβ€˜π‘Š) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐢))
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 23049 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
3934, 38eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17091  Β·π‘–cip 17146  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  Β·ifcipf 21052  TopOnctopon 22282  TopSpctps 22304   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  NrmGrpcngp 23956  β„‚PreHilccph 24553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-ipf 21054  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-tng 23963  df-nlm 23965  df-clm 24449  df-cph 24555  df-tcph 24556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator