MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2ip 24764
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 23178 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
cnmpt1ip.c 𝐢 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnmpt1ip.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cnmpt1ip.r (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
cnmpt1ip.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2ip.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2ip.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ip.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 txtopon 23094 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
6 cphngp 24689 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
7 ngptps 24110 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ TopSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
119, 10istps 22435 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
128, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
14 cnf2 22752 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
154, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
16 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1716fmpo 8053 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
1815, 17sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1918r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2019r19.21bi 3248 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
22 cnf2 22752 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
234, 12, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
24 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2524fmpo 8053 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
2623, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2726r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2827r19.21bi 3248 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
30 eqid 2732 . . . . . 6 (Β·ifβ€˜π‘Š) = (Β·ifβ€˜π‘Š)
319, 29, 30ipfval 21201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
3220, 28, 31syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
33323impa 1110 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴 , 𝐡))
3433mpoeq3dva 7485 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)))
35 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐢 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3630, 10, 35ipcn 24762 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Β·ifβ€˜π‘Š) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐢))
375, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β·ifβ€˜π‘Š) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐢))
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 23178 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(Β·ifβ€˜π‘Š)𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
3934, 38eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 , 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  Β·π‘–cip 17201  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  Β·ifcipf 21177  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  NrmGrpcngp 24085  β„‚PreHilccph 24682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-phl 21178  df-ipf 21179  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nlm 24094  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator