MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2ip 23544
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 21977 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h , = (·𝑖𝑊)
cnmpt1ip.r (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2ip.l (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2ip.a (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ip.b (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 txtopon 21893 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
41, 2, 3syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 23470 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7 ngptps 22904 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
9 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
119, 10istps 21236 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
128, 11sylib 210 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
14 cnf2 21551 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
154, 12, 13, 14syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
16 eqid 2772 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴)
1716fmpo 7567 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
1815, 17sylibr 226 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
1918r19.21bi 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
2019r19.21bi 3152 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
22 cnf2 21551 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
234, 12, 21, 22syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
24 eqid 2772 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵)
2524fmpo 7567 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
2623, 25sylibr 226 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
2726r19.21bi 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
2827r19.21bi 3152 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
30 eqid 2772 . . . . . 6 (·if𝑊) = (·if𝑊)
319, 29, 30ipfval 20485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
3220, 28, 31syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
33323impa 1090 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑌) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
3433mpoeq3dva 7043 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
35 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
3630, 10, 35ipcn 23542 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
375, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 21977 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
3934, 38eqeltrrd 2861 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082   × cxp 5398  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  Basecbs 16329  ·𝑖cip 16416  TopOpenctopn 16541  fldccnfld 20237  ·ifcipf 20461  TopOnctopon 21212  TopSpctps 21234   Cn ccn 21526   ×t ctx 21862  NrmGrpcngp 22880  ℂPreHilccph 23463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-rnghom 19180  df-drng 19217  df-subrg 19246  df-staf 19328  df-srng 19329  df-lmod 19348  df-lmhm 19506  df-lvec 19587  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-cnfld 20238  df-phl 20462  df-ipf 20463  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-nm 22885  df-ngp 22886  df-tng 22887  df-nlm 22889  df-clm 23360  df-cph 23465  df-tcph 23466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator