Theorem cphpyth 25344

Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphpyth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphpyth.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphpyth.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cphpyth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cphpyth	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphpyth.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		cphpyth.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphpyth.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		cphpyth.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphpyth.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		cphpyth.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
10	1, 2	cphorthcom 25329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
12	11	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
13	9, 12	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11385	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
17	2, 1	cphipcl 25319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
18	4, 5, 5, 17	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 1	cphipcl 25319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
20	4, 6, 6, 19	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcld 11228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
23	22	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
24	8, 16, 23	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25		cphngp 25301	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26		ngpgrp 24725	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	4, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
28	2, 3, 27, 5, 6	grpcld 19014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29		cphpyth.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
30	2, 1, 29	nmsq 25322	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
31	4, 28, 30	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
32	31	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
33	2, 1, 29	nmsq 25322	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
34	4, 5, 33	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
35	2, 1, 29	nmsq 25322	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
36	4, 6, 35	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
37	34, 36	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
38	37	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
39	24, 32, 38	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100   + caddc 11103  2c2 12295  ↑cexp 14097  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ·_𝑖cip 17315  Grpcgrp 19000  normcnm 24702  NrmGrpcngp 24703  ℂPreHilccph 25294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-rhm 20554  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-staf 20920  df-srng 20921  df-lmod 20961  df-lmhm 21121  df-lvec 21202  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-phl 21745  df-ngp 24709  df-nlm 24712  df-clm 25191  df-cph 25296

This theorem is referenced by: (None)