Theorem cphpyth 25564

Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphpyth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphpyth.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphpyth.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cphpyth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cphpyth	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphpyth.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		cphpyth.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphpyth.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		cphpyth.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphpyth.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		cphpyth.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
10	1, 2	cphorthcom 25549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
12	11	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
13	9, 12	oveq12d 7458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11509	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
17	2, 1	cphipcl 25539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
18	4, 5, 5, 17	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 1	cphipcl 25539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
20	4, 6, 6, 19	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcld 11352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
24	8, 16, 23	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25		cphngp 25521	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26		ngpgrp 24945	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	4, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
28	2, 3, 27, 5, 6	grpcld 19184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29		cphpyth.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
30	2, 1, 29	nmsq 25542	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
31	4, 28, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
33	2, 1, 29	nmsq 25542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
34	4, 5, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
35	2, 1, 29	nmsq 25542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
36	4, 6, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
37	34, 36	oveq12d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
38	37	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
39	24, 32, 38	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224   + caddc 11227  2c2 12421  ↑cexp 14228  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ·_𝑖cip 17459  Grpcgrp 19170  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923  ℂPreHilccph 25514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-rhm 20729  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lmhm 21324  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-phl 21959  df-ngp 24929  df-nlm 24932  df-clm 25411  df-cph 25516

This theorem is used by: (None)