MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphpyth 23961
Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cphpyth.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h , = (·𝑖𝑊)
cphpyth.p + = (+g𝑊)
cphpyth.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a (𝜑𝐴𝑉)
cphpyth.b (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
cphpyth ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth
StepHypRef Expression
1 cphpyth.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 cphpyth.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 cphpyth.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 cphpyth.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphpyth.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 cphpyth.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 23952 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
87adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
101, 2cphorthcom 23946 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
114, 5, 6, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
1211biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
139, 12oveq12d 7182 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 10886 . . . . 5 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7180 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
172, 1cphipcl 23936 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
184, 5, 5, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
192, 1cphipcl 23936 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
204, 6, 6, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
2118, 20addcld 10731 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2221addid1d 10911 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
248, 16, 233eqtrd 2777 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25 cphngp 23918 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26 ngpgrp 23345 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
274, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
282, 3, 27, 5, 6grpcld 18225 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29 cphpyth.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
302, 1, 29nmsq 23939 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
314, 28, 30syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
3231adantr 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
332, 1, 29nmsq 23939 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
344, 5, 33syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
352, 1, 29nmsq 23939 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
364, 6, 35syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
3734, 36oveq12d 7182 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
3837adantr 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
3924, 32, 383eqtr4d 2783 1 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608   + caddc 10611  2c2 11764  cexp 13514  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  ·𝑖cip 16666  Grpcgrp 18212  normcnm 23322  NrmGrpcngp 23323  ℂPreHilccph 23911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-rnghom 19582  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-staf 19728  df-srng 19729  df-lmod 19748  df-lmhm 19906  df-lvec 19987  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-cnfld 20211  df-phl 20435  df-ngp 23329  df-nlm 23332  df-clm 23808  df-cph 23913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator