Theorem cphpyth 25476

Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphpyth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphpyth.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphpyth.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cphpyth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cphpyth	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphpyth.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		cphpyth.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphpyth.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		cphpyth.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphpyth.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		cphpyth.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
10	1, 2	cphorthcom 25461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
12	11	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
13	9, 12	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11434	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
17	2, 1	cphipcl 25451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
18	4, 5, 5, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 1	cphipcl 25451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
20	4, 6, 6, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcld 11277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
24	8, 16, 23	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25		cphngp 25433	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26		ngpgrp 24857	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	4, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
28	2, 3, 27, 5, 6	grpcld 19097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29		cphpyth.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
30	2, 1, 29	nmsq 25454	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
31	4, 28, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
33	2, 1, 29	nmsq 25454	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
34	4, 5, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
35	2, 1, 29	nmsq 25454	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
36	4, 6, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
37	34, 36	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
38	37	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
39	24, 32, 38	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  0cc0 11149   + caddc 11152  2c2 12344  ↑cexp 14150  Basecbs 17326  +_gcplusg 17367  ·_𝑖cip 17372  Grpcgrp 19083  normcnm 24834  NrmGrpcngp 24835  ℂPreHilccph 25426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-rhm 20641  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-staf 21035  df-srng 21036  df-lmod 21076  df-lmhm 21236  df-lvec 21317  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-cnfld 21618  df-phl 21871  df-ngp 24841  df-nlm 24844  df-clm 25323  df-cph 25428

This theorem is used by: (None)