MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphpyth 25164
Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cphpyth.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphpyth.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphpyth.p + = (+gβ€˜π‘Š)
cphpyth.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphpyth.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
cphpyth.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
cphpyth.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
cphpyth ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth
StepHypRef Expression
1 cphpyth.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 cphpyth.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 cphpyth.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 cphpyth.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 cphpyth.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 cphpyth.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 25155 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
9 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ (𝐴 , 𝐡) = 0)
101, 2cphorthcom 25149 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 0 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 0))
114, 5, 6, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 0 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 0))
1211biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ (𝐡 , 𝐴) = 0)
139, 12oveq12d 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 11427 . . . . 5 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7442 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + 0))
172, 1cphipcl 25139 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
184, 5, 5, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
192, 1cphipcl 25139 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚)
204, 6, 6, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚)
2118, 20addcld 11271 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2221addridd 11452 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
2322adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
248, 16, 233eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
25 cphngp 25121 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
26 ngpgrp 24528 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
274, 25, 263syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
282, 3, 27, 5, 6grpcld 18911 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
29 cphpyth.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
302, 1, 29nmsq 25142 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
314, 28, 30syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
3231adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
332, 1, 29nmsq 25142 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
344, 5, 33syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
352, 1, 29nmsq 25142 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
364, 6, 35syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
3734, 36oveq12d 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
3837adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
3924, 32, 383eqtr4d 2778 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 , 𝐡) = 0) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149  2c2 12305  β†‘cexp 14066  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Β·π‘–cip 17245  Grpcgrp 18897  normcnm 24505  NrmGrpcngp 24506  β„‚PreHilccph 25114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-rhm 20418  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lmhm 20914  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-phl 21565  df-ngp 24512  df-nlm 24515  df-clm 25010  df-cph 25116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator