Theorem cphpyth 25143

Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphpyth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphpyth.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphpyth.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cphpyth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cphpyth	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphpyth.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		cphpyth.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphpyth.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		cphpyth.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphpyth.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		cphpyth.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
10	1, 2	cphorthcom 25128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
13	9, 12	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11288	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
17	2, 1	cphipcl 25118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
18	4, 5, 5, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 1	cphipcl 25118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
20	4, 6, 6, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcld 11131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
24	8, 16, 23	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25		cphngp 25100	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26		ngpgrp 24514	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	4, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
28	2, 3, 27, 5, 6	grpcld 18860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29		cphpyth.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
30	2, 1, 29	nmsq 25121	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
31	4, 28, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
32	31	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
33	2, 1, 29	nmsq 25121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
34	4, 5, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
35	2, 1, 29	nmsq 25121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
36	4, 6, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
37	34, 36	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
38	37	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
39	24, 32, 38	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009  2c2 12180  ↑cexp 13968  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ·_𝑖cip 17166  Grpcgrp 18846  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492  ℂPreHilccph 25093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-rhm 20390  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-cnfld 21292  df-phl 21563  df-ngp 24498  df-nlm 24501  df-clm 24990  df-cph 25095

This theorem is referenced by: (None)