MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphpyth 25137
Description: The pythagorean theorem for a subcomplex pre-Hilbert space. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e., whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by SN, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cphpyth.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphpyth.h , = (·𝑖𝑊)
cphpyth.p + = (+g𝑊)
cphpyth.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphpyth.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cphpyth.a (𝜑𝐴𝑉)
cphpyth.b (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
cphpyth ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))

Proof of Theorem cphpyth
StepHypRef Expression
1 cphpyth.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 cphpyth.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 cphpyth.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 cphpyth.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphpyth.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 cphpyth.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 25128 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
87adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
9 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐴 , 𝐵) = 0)
101, 2cphorthcom 25122 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
114, 5, 6, 10syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))
1211biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (𝐵 , 𝐴) = 0)
139, 12oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 11413 . . . . 5 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2784 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0))
172, 1cphipcl 25112 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
184, 5, 5, 17syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
192, 1cphipcl 25112 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
204, 6, 6, 19syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
2118, 20addcld 11257 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2221addridd 11438 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + 0) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
248, 16, 233eqtrd 2772 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
25 cphngp 25094 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26 ngpgrp 24501 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
274, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
282, 3, 27, 5, 6grpcld 18897 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
29 cphpyth.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
302, 1, 29nmsq 25115 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
314, 28, 30syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
3231adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
332, 1, 29nmsq 25115 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
344, 5, 33syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
352, 1, 29nmsq 25115 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
364, 6, 35syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
3734, 36oveq12d 7432 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
3837adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
3924, 32, 383eqtr4d 2778 1 ((𝜑 ∧ (𝐴 , 𝐵) = 0) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  0cc0 11132   + caddc 11135  2c2 12291  cexp 14052  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  ·𝑖cip 17231  Grpcgrp 18883  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479  ℂPreHilccph 25087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-rhm 20404  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-cnfld 21273  df-phl 21551  df-ngp 24485  df-nlm 24488  df-clm 24983  df-cph 25089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator