Theorem cnmpt1ip 24411

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 22817 which cannot be used directly because ·_𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c	⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cnmpt1ip.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ip.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ip.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ip	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   , (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt1ip.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3		cphngp 24337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngptps 23758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
6		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		cnmpt1ip.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
8	6, 7	istps 22083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
9	5, 8	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
10		cnmpt1ip.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11		cnf2 22400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
13	12	fvmptelrn 6987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
14		cnmpt1ip.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
15		cnf2 22400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
16	1, 9, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
17	16	fvmptelrn 6987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
18		cnmpt1ip.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (·if‘𝑊) = (·if‘𝑊)
20	6, 18, 19	ipfval 20854	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
21	13, 17, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
22	21	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
23		cnmpt1ip.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
24	19, 7, 23	ipcn 24410	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
25	2, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
26	1, 10, 14, 25	cnmpt12f 22817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
27	22, 26	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ·_𝑖cip 16967  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  ·_ifcipf 20830  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081   Cn ccn 22375   ×_t ctx 22711  NrmGrpcngp 23733  ℂPreHilccph 24330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-phl 20831  df-ipf 20832  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-tng 23740  df-nlm 23742  df-clm 24226  df-cph 24332  df-tcph 24333

This theorem is referenced by:  csscld  24413  clsocv  24414