Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1ip 23855
 Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 22275 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h , = (·𝑖𝑊)
cnmpt1ip.r (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ip.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ip.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ip (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   , (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt1ip.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23782 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4 ngptps 23212 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
52, 3, 43syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
6 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 cnmpt1ip.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
86, 7istps 21543 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
95, 8sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
10 cnmpt1ip.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11 cnf2 21858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
121, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
1312fvmptelrn 6858 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
14 cnmpt1ip.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
15 cnf2 21858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
161, 9, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
1716fvmptelrn 6858 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
18 cnmpt1ip.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
19 eqid 2801 . . . . 5 (·if𝑊) = (·if𝑊)
206, 18, 19ipfval 20342 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
2113, 17, 20syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
2221mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
23 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
2419, 7, 23ipcn 23854 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
252, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
261, 10, 14, 25cnmpt12f 22275 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
2722, 26eqeltrrd 2894 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  ·𝑖cip 16566  TopOpenctopn 16691  ℂfldccnfld 20095  ·ifcipf 20318  TopOnctopon 21519  TopSpctps 21541   Cn ccn 21833   ×t ctx 22169  NrmGrpcngp 23188  ℂPreHilccph 23775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-staf 19613  df-srng 19614  df-lmod 19633  df-lmhm 19791  df-lvec 19872  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-phl 20319  df-ipf 20320  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-nm 23193  df-ngp 23194  df-tng 23195  df-nlm 23197  df-clm 23672  df-cph 23777  df-tcph 23778 This theorem is referenced by:  csscld  23857  clsocv  23858
 Copyright terms: Public domain W3C validator