Theorem cnmpt1ip 25174

Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 23581 which cannot be used directly because ·_𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ip.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c	⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cnmpt1ip.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ip.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ip.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ip	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   , (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ip.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt1ip.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3		cphngp 25100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngptps 24517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
6		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		cnmpt1ip.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
8	6, 7	istps 22849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
9	5, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
10		cnmpt1ip.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11		cnf2 23164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
13	12	fvmptelcdm 7046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
14		cnmpt1ip.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
15		cnf2 23164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
16	1, 9, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
17	16	fvmptelcdm 7046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
18		cnmpt1ip.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (·if‘𝑊) = (·if‘𝑊)
20	6, 18, 19	ipfval 21586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
21	13, 17, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(·if‘𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
22	21	mpteq2dva 5182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
23		cnmpt1ip.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
24	19, 7, 23	ipcn 25173	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
25	2, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (·if‘𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
26	1, 10, 14, 25	cnmpt12f 23581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(·if‘𝑊)𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
27	22, 26	eqeltrrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ·_𝑖cip 17166  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291  ·_ifcipf 21562  TopOnctopon 22825  TopSpctps 22847   Cn ccn 23139   ×_t ctx 23475  NrmGrpcngp 24492  ℂPreHilccph 25093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-phl 21563  df-ipf 21564  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-tng 24499  df-nlm 24501  df-clm 24990  df-cph 25095  df-tcph 25096

This theorem is referenced by:  csscld  25176  clsocv  25177