Theorem cphnmf 23214

Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmsq.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmf	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem cphnmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 468	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphphl 23190	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
3	2	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
4		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
5		cphnmcl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		nmsq.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		nmsq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		cphnmcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	ipcl 20195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
10	3, 4, 4, 9	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
11		nmsq.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	7, 6, 11	nmsq 23213	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
13		cphngp 23192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14	7, 11	nmcl 22640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
15	13, 14	sylan 569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	resqcld 13242	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) ∈ ℝ)
17	12, 16	eqeltrrd 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
18	15	sqge0d 13243	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝑥)↑2))
19	18, 12	breqtrd 4812	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
20	5, 8	cphsqrtcl 23203	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
21	1, 10, 17, 19, 20	syl13anc 1478	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
22		eqid 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
23	21, 22	fmptd 6527	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶𝐾)
24	7, 6, 11	cphnmfval 23211	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
25	24	feq1d 6170	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑁:𝑉⟶𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶𝐾))
26	23, 25	mpbird 247	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  0cc0 10138   ≤ cle 10277  2c2 11272  ↑cexp 13067  √csqrt 14181  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  ·_𝑖cip 16154  PreHilcphl 20186  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  ℂPreHilccph 23185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-phl 20188  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nlm 22611  df-cph 23187

This theorem is referenced by:  cphnmcl  23215