Theorem cphnmf 25517

Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmsq.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmf	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem cphnmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmsq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		nmsq.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		nmsq.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 25514	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
6		cphphl 25493	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
9		cphnmcl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		cphnmcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	9, 2, 1, 10	ipcl 21940	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 8, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
13	1, 2, 3	nmsq 25516	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
14		cphngp 25495	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
15	1, 3	nmcl 24936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14269	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥)↑2) ∈ ℝ)
18	13, 17	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
19	16	sqge0d 14281	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝑥)↑2))
20	19, 13	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
21	9, 10	cphsqrtcl 25506	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
22	5, 12, 18, 20, 21	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
23	4, 22	fmpt3d 7117	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201   ≤ cle 11345  2c2 12398  ↑cexp 14205  √csqrt 15401  Basecbs 17388  Scalarcsca 17432  ·_𝑖cip 17434  PreHilcphl 21931  normcnm 24896  NrmGrpcngp 24897  ℂPreHilccph 25488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ico 13483  df-fz 13641  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-0g 17613  df-topgen 17615  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmhm 21298  df-lvec 21379  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-cnfld 21680  df-phl 21933  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-xms 24640  df-ms 24641  df-nm 24902  df-ngp 24903  df-nlm 24906  df-cph 25490

This theorem is used by:  cphnmcl  25518