MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphnmf 23413
Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h , = (·𝑖𝑊)
nmsq.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphnmf (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)

Proof of Theorem cphnmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmsq.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 nmsq.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
3 nmsq.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
41, 2, 3cphnmfval 23410 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
5 simpl 476 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
6 cphphl 23389 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
76adantr 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
8 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
9 cphnmcl.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10 cphnmcl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
119, 2, 1, 10ipcl 20387 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
127, 8, 8, 11syl3anc 1439 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
131, 2, 3nmsq 23412 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
14 cphngp 23391 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
151, 3nmcl 22839 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1614, 15sylan 575 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1716resqcld 13362 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) ∈ ℝ)
1813, 17eqeltrrd 2860 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
1916sqge0d 13363 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝑥)↑2))
2019, 13breqtrd 4914 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
219, 10cphsqrtcl 23402 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
225, 12, 18, 20, 21syl13anc 1440 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
234, 22fmpt3d 6652 1 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274  cle 10414  2c2 11435  cexp 13183  csqrt 14386  Basecbs 16266  Scalarcsca 16352  ·𝑖cip 16354  PreHilcphl 20378  normcnm 22800  NrmGrpcngp 22801  ℂPreHilccph 23384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ico 12498  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-0g 16499  df-topgen 16501  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cmn 18592  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-drng 19152  df-subrg 19181  df-lmhm 19428  df-lvec 19509  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-phl 20380  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-xms 22544  df-ms 22545  df-nm 22806  df-ngp 22807  df-nlm 22810  df-cph 23386
This theorem is referenced by:  cphnmcl  23414
  Copyright terms: Public domain W3C validator