Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphnmf 23779
 Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h , = (·𝑖𝑊)
nmsq.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphnmf (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)

Proof of Theorem cphnmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmsq.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 nmsq.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
3 nmsq.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
41, 2, 3cphnmfval 23776 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
5 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
6 cphphl 23755 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
76adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
8 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
9 cphnmcl.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10 cphnmcl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
119, 2, 1, 10ipcl 20753 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
127, 8, 8, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
131, 2, 3nmsq 23778 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
14 cphngp 23757 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
151, 3nmcl 23201 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1614, 15sylan 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1716resqcld 13595 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) ∈ ℝ)
1813, 17eqeltrrd 2913 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
1916sqge0d 13596 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝑥)↑2))
2019, 13breqtrd 5065 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
219, 10cphsqrtcl 23768 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
225, 12, 18, 20, 21syl13anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
234, 22fmpt3d 6853 1 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5039  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  0cc0 10514   ≤ cle 10653  2c2 11670  ↑cexp 13413  √csqrt 14571  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547  ·𝑖cip 16549  PreHilcphl 20744  normcnm 23162  NrmGrpcngp 23163  ℂPreHilccph 23750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ico 12722  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-drng 19480  df-subrg 19509  df-lmhm 19770  df-lvec 19851  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-phl 20746  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-xms 22906  df-ms 22907  df-nm 23168  df-ngp 23169  df-nlm 23172  df-cph 23752 This theorem is referenced by:  cphnmcl  23780
 Copyright terms: Public domain W3C validator