Theorem cssss 21627

Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssss	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem cssss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		cssss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21626	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4		cssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5	4, 1	ocvss 21612	. 2 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
6	3, 5	eqsstrdi 3988	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  ocvcocv 21602  ClSubSpccss 21603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-ocv 21605  df-css 21606

This theorem is referenced by:  cssmre  21635  ocvpj  21659  hlhillcs  41945