MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssss 21721
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssss (𝑆𝐶𝑆𝑉)

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . 3 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 21720 . 2 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4 cssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
54, 1ocvss 21706 . 2 ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
63, 5eqsstrdi 4057 1 (𝑆𝐶𝑆𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  wss 3970  cfv 6572  Basecbs 17253  ocvcocv 21696  ClSubSpccss 21697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-fv 6580  df-ov 7448  df-ocv 21699  df-css 21700
This theorem is referenced by:  cssmre  21729  ocvpj  21755  hlhillcs  41867
  Copyright terms: Public domain W3C validator