MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssss 20805
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssss (𝑆𝐶𝑆𝑉)

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . 3 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . 3 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 20804 . 2 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4 cssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
54, 1ocvss 20790 . 2 ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
63, 5eqsstrdi 3997 1 (𝑆𝐶𝑆𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  cfv 6328  Basecbs 16462  ocvcocv 20780  ClSubSpccss 20781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7133  df-ocv 20783  df-css 20784
This theorem is referenced by:  cssmre  20813  ocvpj  20837  hlhillcs  39136
  Copyright terms: Public domain W3C validator