Theorem cssss 21730

Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssss	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem cssss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		cssss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21729	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4		cssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5	4, 1	ocvss 21715	. 2 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
6	3, 5	eqsstrdi 4053	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  ocvcocv 21705  ClSubSpccss 21706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-ov 7441  df-ocv 21708  df-css 21709

This theorem is referenced by:  cssmre  21738  ocvpj  21764  hlhillcs  41959