MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssss 21105
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssss (𝑆𝐶𝑆𝑉)

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . 3 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 21104 . 2 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4 cssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
54, 1ocvss 21090 . 2 ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
63, 5eqsstrdi 3999 1 (𝑆𝐶𝑆𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911  cfv 6497  Basecbs 17088  ocvcocv 21080  ClSubSpccss 21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-ocv 21083  df-css 21084
This theorem is referenced by:  cssmre  21113  ocvpj  21139  hlhillcs  40471
  Copyright terms: Public domain W3C validator