Theorem ocvpj 21689

Description: The orthocomplement of a projection subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvpj.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
ocvpj.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvpj	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem ocvpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvpj.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	pjcss 21688	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom 𝐾 ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
4	3	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 2	cssss 21657	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
8		ocvpj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
10	5, 8, 9	ocvlss 21644	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	7, 10	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12		phllmod 21602	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
14		lmodabl 20877	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
16	9	lsssssubg 20926	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	17, 11	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19	2, 9	csslss 21663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	4, 19	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	17, 20	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	22	lsmcom 19804	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
24	15, 18, 21, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
25	8, 2	cssi 21656	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
26	4, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
27	26	oveq2d 7386	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))))
28	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 21683	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))))
29	28	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))
30	24, 27, 29	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))
31	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 21683	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
32	31	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
33	11, 30, 32	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  dom cdm 5634  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  SubGrpcsubg 19067  LSSumclsm 19580  Abelcabl 19727  LModclmod 20828  LSubSpclss 20899  PreHilcphl 21596  ocvcocv 21632  ClSubSpccss 21633  projcpj 21672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-lsm 19582  df-pj1 19583  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-rhm 20425  df-staf 20789  df-srng 20790  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lmhm 20991  df-lvec 21072  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-phl 21598  df-ocv 21635  df-css 21636  df-pj 21675

This theorem is referenced by: (None)