MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvpj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvpj 20789
Description: The orthocomplement of a projection subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvpj.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
ocvpj.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvpj ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( 𝑇) ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem ocvpj
StepHypRef Expression
1 ocvpj.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2pjcss 20788 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → dom 𝐾 ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
43sselda 3964 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊))
5 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65, 2cssss 20757 . . . 4 (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
74, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
8 ocvpj.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
9 eqid 2818 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
105, 8, 9ocvlss 20744 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( 𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
117, 10syldan 591 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( 𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12 phllmod 20702 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
14 lmodabl 19610 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
169lsssssubg 19659 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1713, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1817, 11sseldd 3965 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
192, 9csslss 20763 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
204, 19syldan 591 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2117, 20sseldd 3965 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22 eqid 2818 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
2322lsmcom 18907 . . . 4 ((𝑊 ∈ Abel ∧ ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( 𝑇)))
2415, 18, 21, 23syl3anc 1363 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( 𝑇)))
258, 2cssi 20756 . . . . 5 (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 = ( ‘( 𝑇)))
264, 25syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 = ( ‘( 𝑇)))
2726oveq2d 7161 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)( ‘( 𝑇))))
285, 9, 8, 22, 1pjdm2 20783 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)( 𝑇)) = (Base‘𝑊))))
2928simplbda 500 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)( 𝑇)) = (Base‘𝑊))
3024, 27, 293eqtr3d 2861 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)( ‘( 𝑇))) = (Base‘𝑊))
315, 9, 8, 22, 1pjdm2 20783 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (( 𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( 𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)( ‘( 𝑇))) = (Base‘𝑊))))
3231adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( 𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( 𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( 𝑇)(LSSum‘𝑊)( ‘( 𝑇))) = (Base‘𝑊))))
3311, 30, 32mpbir2and 709 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( 𝑇) ∈ dom 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  SubGrpcsubg 18211  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  PreHilcphl 20696  ocvcocv 20732  ClSubSpccss 20733  projcpj 20772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-pj1 18691  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-rnghom 19396  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-phl 20698  df-ocv 20735  df-css 20736  df-pj 20775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator