Theorem ocvpj 22050

Description: The orthocomplement of a projection subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvpj.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
ocvpj.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvpj	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem ocvpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvpj.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	pjcss 22049	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom 𝐾 ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
4	3	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 2	cssss 22018	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
8		ocvpj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
10	5, 8, 9	ocvlss 22005	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	7, 10	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12		phllmod 21963	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
14		lmodabl 21211	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
16	9	lsssssubg 21260	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	13, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	17, 11	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19	2, 9	csslss 22024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	4, 19	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	17, 20	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	22	lsmcom 20099	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
24	15, 18, 21, 23	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
25	8, 2	cssi 22017	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
26	4, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
27	26	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))))
28	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 22044	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))))
29	28	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))
30	24, 27, 29	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))
31	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 22044	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
33	11, 30, 32	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  SubGrpcsubg 19356  LSSumclsm 19875  Abelcabl 20022  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  PreHilcphl 21957  ocvcocv 21993  ClSubSpccss 21994  projcpj 22033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-pj1 19878  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-rhm 20729  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lmhm 21324  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-phl 21959  df-ocv 21996  df-css 21997  df-pj 22036

This theorem is used by: (None)