Theorem ocvpj 21654

Description: The orthocomplement of a projection subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvpj.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
ocvpj.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvpj	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem ocvpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvpj.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	pjcss 21653	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom 𝐾 ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
4	3	sselda 3929	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊))
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 2	cssss 21622	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
8		ocvpj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
10	5, 8, 9	ocvlss 21609	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	7, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12		phllmod 21567	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
14		lmodabl 20842	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
16	9	lsssssubg 20891	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	17, 11	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19	2, 9	csslss 21628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	4, 19	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	17, 20	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	22	lsmcom 19770	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
24	15, 18, 21, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
25	8, 2	cssi 21621	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
26	4, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
27	26	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)𝑇) = (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))))
28	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 21648	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))))
29	28	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (Base‘𝑊))
30	24, 27, 29	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))
31	5, 9, 8, 22, 1	pjdm2 21648	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
32	31	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾 ↔ (( ⊥ ‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (( ⊥ ‘𝑇)(LSSum‘𝑊)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇))) = (Base‘𝑊))))
33	11, 30, 32	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ dom 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  SubGrpcsubg 19033  LSSumclsm 19546  Abelcabl 19693  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598  projcpj 21637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-pj1 19549  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-rhm 20390  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-phl 21563  df-ocv 21600  df-css 21601  df-pj 21640

This theorem is referenced by: (None)