Theorem cssmre 21854

Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 17647: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 17716. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssmre.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssmre	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssmre.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		cssmre.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssss 21846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
4		velpw 4566	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	3, 4	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
7	6	ssrdv 3942	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
8	1, 2	css1 21851	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)
9		intss1 4927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑧)
10		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
11	10	ocv2ss 21834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑥 ⊆ 𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))
12	10	ocv2ss 21834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
13	9, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
14	13	ad2antll 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)))
16	14, 15	sseldd 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17		simpl2 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
18		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
19	17, 18	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	10, 2	cssi 21845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
22	16, 21	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑧)
23	22	expr 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24	23	alrimiv 1956	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
25		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
26	25	elint 4917	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
27	24, 26	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥)
28	27	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥))
29	28	ssrdv 3942	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥)
30		simp1 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31		intssuni 4934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
32	31	3ad2ant3 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
33		simp2 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
34	7	3ad2ant1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
35	33, 34	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36		sspwuni 5065	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
37	35, 36	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
38	32, 37	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉)
39	1, 2, 10	iscss2 21847	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
40	30, 38, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
41	29, 40	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
42	7, 8, 41	ismred 17660	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  Moorecmre 17640  PreHilcphl 21785  ocvcocv 21821  ClSubSpccss 21822

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mre 17644  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-ghm 19290  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-rhm 20561  df-staf 20953  df-srng 20954  df-lmod 20994  df-lmhm 21154  df-lvec 21235  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-phl 21787  df-ocv 21824  df-css 21825

This theorem is used by:  mrccss  21855