Theorem cssmre 21960

Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 17720: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 17789. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssmre.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssmre	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssmre.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		cssmre.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssss 21952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
4		velpw 4561	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	3, 4	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
7	6	ssrdv 3936	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
8	1, 2	css1 21957	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)
9		intss1 4922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑧)
10		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
11	10	ocv2ss 21940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑥 ⊆ 𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))
12	10	ocv2ss 21940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
13	9, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
14	13	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)))
16	14, 15	sseldd 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
18		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
19	17, 18	sseldd 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	10, 2	cssi 21951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
22	16, 21	eleqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑧)
23	22	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24	23	alrimiv 1960	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
25		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
26	25	elint 4912	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
27	24, 26	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥)
28	27	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥))
29	28	ssrdv 3936	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥)
30		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31		intssuni 4929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
33		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
34	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
35	33, 34	sstrd 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36		sspwuni 5059	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
37	35, 36	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
38	32, 37	sstrd 3940	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉)
39	1, 2, 10	iscss2 21953	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
40	30, 38, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
41	29, 40	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
42	7, 8, 41	ismred 17733	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  Moorecmre 17713  PreHilcphl 21891  ocvcocv 21927  ClSubSpccss 21928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mre 17717  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-ghm 19389  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-rhm 20663  df-staf 21057  df-srng 21058  df-lmod 21098  df-lmhm 21258  df-lvec 21339  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-phl 21893  df-ocv 21930  df-css 21931

This theorem is used by:  mrccss  21961