Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssmre 20400
 Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 16602: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 16667. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssmre.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssmre (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssmre.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 cssmre.c . . . . . 6 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssss 20392 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝑉)
4 selpw 4385 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥𝑉)
53, 4sylibr 226 . . . 4 (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
76ssrdv 3833 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
81, 2css1 20397 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉𝐶)
9 intss1 4712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑥 𝑥𝑧)
10 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
1110ocv2ss 20380 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑥𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))
1210ocv2ss 20380 . . . . . . . . . . . 12 (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
139, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
1413ad2antll 720 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15 simprl 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)))
1614, 15sseldd 3828 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17 simpl2 1248 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝐶)
18 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
1917, 18sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝐶)
2010, 2cssi 20391 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐶𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2216, 21eleqtrrd 2909 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦𝑧)
2322expr 450 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → (𝑧𝑥𝑦𝑧))
2423alrimiv 2026 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
25 vex 3417 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
2625elint 4703 . . . . . 6 (𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
2724, 26sylibr 226 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → 𝑦 𝑥)
2827ex 403 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) → 𝑦 𝑥))
2928ssrdv 3833 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥)
30 simp1 1170 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31 intssuni 4719 . . . . . 6 (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 𝑥)
32313ad2ant3 1169 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 𝑥)
33 simp2 1171 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
3473ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
3533, 34sstrd 3837 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36 sspwuni 4832 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 𝑥𝑉)
3735, 36sylib 210 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
3832, 37sstrd 3837 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
391, 2, 10iscss2 20393 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4030, 38, 39syl2anc 579 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4129, 40mpbird 249 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
427, 8, 41ismred 16615 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111  ∀wal 1654   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378  ∪ cuni 4658  ∩ cint 4697  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  Moorecmre 16595  PreHilcphl 20331  ocvcocv 20367  ClSubSpccss 20368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-ghm 18009  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-rnghom 19071  df-staf 19201  df-srng 19202  df-lmod 19221  df-lmhm 19381  df-lvec 19462  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-phl 20333  df-ocv 20370  df-css 20371 This theorem is referenced by:  mrccss  20401
 Copyright terms: Public domain W3C validator