Theorem cssmre 21650

Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 17509: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 17578. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssmre.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssmre	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssmre.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		cssmre.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssss 21642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
4		velpw 4547	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	3, 4	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
7	6	ssrdv 3928	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
8	1, 2	css1 21647	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)
9		intss1 4906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑧)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
11	10	ocv2ss 21630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑥 ⊆ 𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))
12	10	ocv2ss 21630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
13	9, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
14	13	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)))
16	14, 15	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
18		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
19	17, 18	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	10, 2	cssi 21641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
22	16, 21	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑧)
23	22	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24	23	alrimiv 1929	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
25		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
26	25	elint 4896	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
27	24, 26	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥)
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥))
29	28	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥)
30		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31		intssuni 4913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
32	31	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
33		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
34	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
35	33, 34	sstrd 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36		sspwuni 5043	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
37	35, 36	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
38	32, 37	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉)
39	1, 2, 10	iscss2 21643	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
40	30, 38, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
41	29, 40	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
42	7, 8, 41	ismred 17522	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  Moorecmre 17502  PreHilcphl 21581  ocvcocv 21617  ClSubSpccss 21618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-0g 17362  df-mre 17506  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-grp 18870  df-ghm 19146  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-rhm 20410  df-staf 20774  df-srng 20775  df-lmod 20815  df-lmhm 20976  df-lvec 21057  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-phl 21583  df-ocv 21620  df-css 21621

This theorem is referenced by:  mrccss  21651