MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssmre 21729
Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 17634: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 17699. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssmre.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssmre (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssmre.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 cssmre.c . . . . . 6 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssss 21721 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝑉)
4 velpw 4610 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥𝑉)
53, 4sylibr 234 . . . 4 (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
76ssrdv 4001 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
81, 2css1 21726 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉𝐶)
9 intss1 4968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑥 𝑥𝑧)
10 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
1110ocv2ss 21709 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑥𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))
1210ocv2ss 21709 . . . . . . . . . . . 12 (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
139, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
1413ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)))
1614, 15sseldd 3996 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝐶)
18 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
1917, 18sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝐶)
2010, 2cssi 21720 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐶𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2216, 21eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦𝑧)
2322expr 456 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → (𝑧𝑥𝑦𝑧))
2423alrimiv 1925 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
25 vex 3482 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
2625elint 4957 . . . . . 6 (𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
2724, 26sylibr 234 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → 𝑦 𝑥)
2827ex 412 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) → 𝑦 𝑥))
2928ssrdv 4001 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥)
30 simp1 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31 intssuni 4975 . . . . . 6 (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 𝑥)
32313ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 𝑥)
33 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
3473ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
3533, 34sstrd 4006 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36 sspwuni 5105 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 𝑥𝑉)
3735, 36sylib 218 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
3832, 37sstrd 4006 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
391, 2, 10iscss2 21722 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4030, 38, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4129, 40mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
427, 8, 41ismred 17647 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   cint 4951  cfv 6563  Basecbs 17245  Moorecmre 17627  PreHilcphl 21660  ocvcocv 21696  ClSubSpccss 21697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-ocv 21699  df-css 21700
This theorem is referenced by:  mrccss  21730
  Copyright terms: Public domain W3C validator