Theorem ocvss 20875

Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvss	⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	elocv 20873	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7	6	simp2bi 1145	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8	7	ssriv 3925	1 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  0_gc0g 17150  ocvcocv 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-ocv 20868

This theorem is referenced by:  ocvocv  20876  ocvlss  20877  ocvlsp  20881  ocv1  20884  cssval  20887  cssss  20890  ocvcss  20892  cssincl  20893  csslss  20896  lsmcss  20897  mrccss  20899  pjcss  20923  csscld  24413  clsocv  24414