MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvss 21688
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvss ( 𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2737 . . . 4 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2737 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2737 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5elocv 21686 . . 3 (𝑥 ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
76simp2bi 1147 . 2 (𝑥 ∈ ( 𝑆) → 𝑥𝑉)
87ssriv 3987 1 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17484  ocvcocv 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ocv 21681
This theorem is referenced by:  ocvocv  21689  ocvlss  21690  ocvlsp  21694  ocv1  21697  cssval  21700  cssss  21703  ocvcss  21705  cssincl  21706  csslss  21709  lsmcss  21710  mrccss  21712  pjcss  21736  csscld  25283  clsocv  25284
  Copyright terms: Public domain W3C validator