MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvss 21059
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvss ( 𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2736 . . . 4 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2736 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5elocv 21057 . . 3 (𝑥 ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
76simp2bi 1146 . 2 (𝑥 ∈ ( 𝑆) → 𝑥𝑉)
87ssriv 3946 1 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  Scalarcsca 17128  ·𝑖cip 17130  0gc0g 17313  ocvcocv 21049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7356  df-ocv 21052
This theorem is referenced by:  ocvocv  21060  ocvlss  21061  ocvlsp  21065  ocv1  21068  cssval  21071  cssss  21074  ocvcss  21076  cssincl  21077  csslss  21080  lsmcss  21081  mrccss  21083  pjcss  21107  csscld  24597  clsocv  24598
  Copyright terms: Public domain W3C validator