Theorem ocvss 21625

Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvss	⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	elocv 21623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7	6	simp2bi 1146	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8	7	ssriv 3937	1 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  ·_𝑖cip 17182  0_gc0g 17359  ocvcocv 21615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-ocv 21618

This theorem is referenced by:  ocvocv  21626  ocvlss  21627  ocvlsp  21631  ocv1  21634  cssval  21637  cssss  21640  ocvcss  21642  cssincl  21643  csslss  21646  lsmcss  21647  mrccss  21649  pjcss  21671  csscld  25205  clsocv  25206