Theorem ocvss 21956

Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvss	⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	elocv 21954	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7	6	simp2bi 1164	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8	7	ssriv 3935	1 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411  ·_𝑖cip 17413  0_gc0g 17590  ocvcocv 21946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-ocv 21949

This theorem is used by:  ocvocv  21957  ocvlss  21958  ocvlsp  21962  ocv1  21965  cssval  21968  cssss  21971  ocvcss  21973  cssincl  21974  csslss  21977  lsmcss  21978  mrccss  21980  pjcss  22002  csscld  25550  clsocv  25551