MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvss 20742
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvss ( 𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . 4 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2818 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5elocv 20740 . . 3 (𝑥 ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
76simp2bi 1138 . 2 (𝑥 ∈ ( 𝑆) → 𝑥𝑉)
87ssriv 3968 1 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  ·𝑖cip 16558  0gc0g 16701  ocvcocv 20732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-ocv 20735
This theorem is referenced by:  ocvocv  20743  ocvlss  20744  ocvlsp  20748  ocv1  20751  cssval  20754  cssss  20757  ocvcss  20759  cssincl  20760  csslss  20763  lsmcss  20764  mrccss  20766  pjcss  20788  csscld  23779  clsocv  23780
  Copyright terms: Public domain W3C validator