MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscss2 21623
Description: It is sufficient to prove that the double orthocomplement is a subset of the target set to show that the set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
ocvcss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
iscss2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem iscss2
StepHypRef Expression
1 ocvcss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2iscss 21620 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑆𝐶𝑆 = ( ‘( 𝑆))))
43adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶𝑆 = ( ‘( 𝑆))))
5 cssss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
65, 1ocvocv 21608 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
7 eqss 3995 . . . 4 (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
87baib 534 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
96, 8syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
104, 9bitrd 278 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3947  cfv 6551  Basecbs 17185  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-ghm 19173  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-rhm 20416  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-phl 21563  df-ocv 21600  df-css 21601
This theorem is referenced by:  ocvcss  21624  lsmcss  21629  cssmre  21630
  Copyright terms: Public domain W3C validator