Theorem cssi 21228

Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
cssval.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssi	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem cssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6925	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
2		cssval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
4		cssval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	4, 2	iscss 21227	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ dom ClSubSp → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
7	6	ibi 266	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  ocvcocv 21204  ClSubSpccss 21205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-ocv 21207  df-css 21208

This theorem is referenced by:  cssss  21229  cssincl  21232  csslss  21235  cssmre  21237  mrccss  21238  ocvpj  21263  csscld  24757