Theorem cssi 20542

Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
cssval.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssi	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem cssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6528	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
2		cssval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2878	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
4		cssval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	4, 2	iscss 20541	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ dom ClSubSp → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
7	6	ibi 259	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  dom cdm 5403  ‘cfv 6185  ocvcocv 20518  ClSubSpccss 20519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193  df-ov 6977  df-ocv 20521  df-css 20522

This theorem is referenced by:  cssss  20543  cssincl  20546  csslss  20549  cssmre  20551  mrccss  20552  ocvpj  20575  csscld  23567