Theorem cssi 21743

Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
cssval.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssi	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem cssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6901	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
2		cssval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
4		cssval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	4, 2	iscss 21742	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ dom ClSubSp → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
7	6	ibi 269	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  dom cdm 5648  ‘cfv 6521  ocvcocv 21719  ClSubSpccss 21720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-ocv 21722  df-css 21723

This theorem is referenced by:  cssss  21744  cssincl  21747  csslss  21750  cssmre  21752  mrccss  21753  ocvpj  21776  csscld  25318