Theorem cssi 21664

Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
cssval.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssi	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem cssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6875	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
2		cssval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
4		cssval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	4, 2	iscss 21663	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ dom ClSubSp → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
7	6	ibi 267	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ocvcocv 21640  ClSubSpccss 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7370  df-ocv 21643  df-css 21644

This theorem is referenced by:  cssss  21665  cssincl  21668  csslss  21671  cssmre  21673  mrccss  21674  ocvpj  21697  csscld  25216