Theorem cssi 20889

Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
cssval.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssi	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem cssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6806	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
2		cssval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ dom ClSubSp)
4		cssval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	4, 2	iscss 20888	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ dom ClSubSp → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
7	6	ibi 266	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  ocvcocv 20865  ClSubSpccss 20866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-ocv 20868  df-css 20869

This theorem is referenced by:  cssss  20890  cssincl  20893  csslss  20896  cssmre  20898  mrccss  20899  ocvpj  20924  csscld  24413