Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillcs 40454
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 40428 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhillcs.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
hlhillcs.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillcs (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21fvexi 6861 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ V
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (ocvβ€˜π‘ˆ) = (ocvβ€˜π‘ˆ)
4 hlhillcs.c . . . . . . 7 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
53, 4iscss 21103 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
62, 5mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
76biimpa 478 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
8 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
98, 4cssss 21105 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
10 hlhillcs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 hlhillcs.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2737 . . . . . . 7 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
14 eqid 2737 . . . . . . 7 ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 hlhillcs.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1710, 1, 15, 12, 13hlhilbase 40428 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1817sseq2d 3981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1918biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2010, 11, 12, 13, 14, 16, 19dochoccl 39861 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
21 eqcom 2744 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
2210, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19hlhilocv 40453 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
2322fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2410, 12, 13, 14dochssv 39847 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2516, 19, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2610, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25hlhilocv 40453 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2723, 26eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2827eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
2921, 28bitrid 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
3020, 29bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
319, 30sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
327, 31mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
33 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
3415adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3510, 12, 11, 13dihrnss 39770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3615, 35sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3710, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36hlhilocv 40453 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3837fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
3934, 36, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4010, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39hlhilocv 40453 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4138, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4241eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
4342biimpar 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4443eqcomd 2743 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
4544ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯ β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4610, 11, 12, 13, 14, 34, 36dochoccl 39861 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
472, 5mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4845, 46, 473imtr4d 294 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
4933, 48mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
5032, 49impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐼))
5150eqrdv 2735 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  ocvcocv 21080  ClSubSpccss 21081  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  DIsoHcdih 39720  ocHcoch 39839  HLHilchlh 40424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-ocv 21083  df-css 21084  df-lsatoms 37467  df-lshyp 37468  df-lcv 37510  df-lfl 37549  df-lkr 37577  df-ldual 37615  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tgrp 39235  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dveca 39495  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721  df-doch 39840  df-djh 39887  df-lcdual 40079  df-mapd 40117  df-hvmap 40249  df-hdmap1 40285  df-hdmap 40286  df-hlhil 40425
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  40456
  Copyright terms: Public domain W3C validator