Theorem hlhillcs 42392

Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 42370 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillcs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillcs.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
hlhillcs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhillcs	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Proof of Theorem hlhillcs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillcs.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
2	1	fvexi 6843	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
4		hlhillcs.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
5	3, 4	iscss 21652	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
6	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
7	6	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9	8, 4	cssss 21654	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈))
10		hlhillcs.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hlhillcs.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15		hlhillcs.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10, 1, 15, 12, 13	hlhilbase 42370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
18	17	sseq2d 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
20	10, 11, 12, 13, 14, 16, 19	dochoccl 41803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
21		eqcom 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
22	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19	hlhilocv 42391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
23	22	fveq2d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
24	10, 12, 13, 14	dochssv 41789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
25	16, 19, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
26	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25	hlhilocv 42391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
27	23, 26	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
28	27	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
29	21, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
30	20, 29	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
31	9, 30	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
32	7, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	10, 12, 11, 13	dihrnss 41712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
36	15, 35	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
37	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36	hlhilocv 42391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
38	37	fveq2d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39	34, 36, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
40	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39	hlhilocv 42391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
41	38, 40	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
42	41	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
43	42	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
44	43	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
46	10, 11, 12, 13, 14, 34, 36	dochoccl 41803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
47	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
48	45, 46, 47	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝐶))
49	33, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50	32, 49	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐼))
51	50	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885  ran crn 5621  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  ocvcocv 21629  ClSubSpccss 21630  HLchlt 39784  LHypclh 40418  DVecHcdvh 41512  DIsoHcdih 41662  ocHcoch 41781  HLHilchlh 42366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21087  df-ocv 21632  df-css 21633  df-lsatoms 39410  df-lshyp 39411  df-lcv 39453  df-lfl 39492  df-lkr 39520  df-ldual 39558  df-oposet 39610  df-ol 39612  df-oml 39613  df-covers 39700  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785  df-llines 39932  df-lplanes 39933  df-lvols 39934  df-lines 39935  df-psubsp 39937  df-pmap 39938  df-padd 40230  df-lhyp 40422  df-laut 40423  df-ldil 40538  df-ltrn 40539  df-trl 40593  df-tgrp 41177  df-tendo 41189  df-edring 41191  df-dveca 41437  df-disoa 41463  df-dvech 41513  df-dib 41573  df-dic 41607  df-dih 41663  df-doch 41782  df-djh 41829  df-lcdual 42021  df-mapd 42059  df-hvmap 42191  df-hdmap1 42227  df-hdmap 42228  df-hlhil 42367

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  42394