Theorem hlhillcs 41959

Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 41937 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillcs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillcs.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
hlhillcs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhillcs	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Proof of Theorem hlhillcs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillcs.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
2	1	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
3		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
4		hlhillcs.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
5	3, 4	iscss 21599	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
6	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
7	6	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9	8, 4	cssss 21601	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈))
10		hlhillcs.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hlhillcs.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
14		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15		hlhillcs.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10, 1, 15, 12, 13	hlhilbase 41937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
18	17	sseq2d 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
20	10, 11, 12, 13, 14, 16, 19	dochoccl 41370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
21		eqcom 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
22	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19	hlhilocv 41958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
23	22	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
24	10, 12, 13, 14	dochssv 41356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
25	16, 19, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
26	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25	hlhilocv 41958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
27	23, 26	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
28	27	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
29	21, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
30	20, 29	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
31	9, 30	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
32	7, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	10, 12, 11, 13	dihrnss 41279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
36	15, 35	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
37	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36	hlhilocv 41958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
38	37	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39	34, 36, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
40	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39	hlhilocv 41958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
41	38, 40	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
42	41	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
43	42	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
44	43	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
46	10, 11, 12, 13, 14, 34, 36	dochoccl 41370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
47	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
48	45, 46, 47	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝐶))
49	33, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50	32, 49	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐼))
51	50	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ran crn 5642  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  ocvcocv 21576  ClSubSpccss 21577  HLchlt 39350  LHypclh 39985  DVecHcdvh 41079  DIsoHcdih 41229  ocHcoch 41348  HLHilchlh 41933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20429  df-rlreg 20610  df-domn 20611  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-ocv 21579  df-css 21580  df-lsatoms 38976  df-lshyp 38977  df-lcv 39019  df-lfl 39058  df-lkr 39086  df-ldual 39124  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tgrp 40744  df-tendo 40756  df-edring 40758  df-dveca 41004  df-disoa 41030  df-dvech 41080  df-dib 41140  df-dic 41174  df-dih 41230  df-doch 41349  df-djh 41396  df-lcdual 41588  df-mapd 41626  df-hvmap 41758  df-hdmap1 41794  df-hdmap 41795  df-hlhil 41934

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41961