Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhillcs 41346
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 41320 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhillcs.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
hlhillcs.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillcs (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)
Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21fvexi 6899 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ V
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (ocvβ€˜π‘ˆ) = (ocvβ€˜π‘ˆ)
4 hlhillcs.c . . . . . . 7 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
53, 4iscss 21576 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
62, 5mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
76biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
98, 4cssss 21578 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
10 hlhillcs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 hlhillcs.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
14 eqid 2726 . . . . . . 7 ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 hlhillcs.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1710, 1, 15, 12, 13hlhilbase 41320 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1817sseq2d 4009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1918biimpar 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2010, 11, 12, 13, 14, 16, 19dochoccl 40753 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
21 eqcom 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
2210, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19hlhilocv 41345 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
2322fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2410, 12, 13, 14dochssv 40739 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2516, 19, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2610, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25hlhilocv 41345 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2723, 26eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2827eqeq1d 2728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
2921, 28bitrid 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
3020, 29bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
319, 30sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
327, 31mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
33 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
3415adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3510, 12, 11, 13dihrnss 40662 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3615, 35sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3710, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36hlhilocv 41345 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3837fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
3934, 36, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4010, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39hlhilocv 41345 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4138, 40eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4241eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
4342biimpar 477 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4443eqcomd 2732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
4544ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯ β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4610, 11, 12, 13, 14, 34, 36dochoccl 40753 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
472, 5mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4845, 46, 473imtr4d 294 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
4933, 48mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
5032, 49impbida 798 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐼))
5150eqrdv 2724 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  ocvcocv 21553  ClSubSpccss 21554  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  DIsoHcdih 40612  ocHcoch 40731  HLHilchlh 41316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-ocv 21556  df-css 21557  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009  df-hvmap 41141  df-hdmap1 41177  df-hdmap 41178  df-hlhil 41317
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41348
  Copyright terms: Public domain W3C validator