Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhillcs 41475
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 41449 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhillcs.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhillcs.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
hlhillcs.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillcs (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)
Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21fvexi 6916 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ V
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (ocvβ€˜π‘ˆ) = (ocvβ€˜π‘ˆ)
4 hlhillcs.c . . . . . . 7 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘ˆ)
53, 4iscss 21629 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
62, 5mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
76biimpa 475 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
98, 4cssss 21631 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
10 hlhillcs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 hlhillcs.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . . . 7 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
14 eqid 2728 . . . . . . 7 ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 hlhillcs.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1710, 1, 15, 12, 13hlhilbase 41449 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1817sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1918biimpar 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2010, 11, 12, 13, 14, 16, 19dochoccl 40882 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
21 eqcom 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
2210, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19hlhilocv 41474 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
2322fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2410, 12, 13, 14dochssv 40868 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2516, 19, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2610, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25hlhilocv 41474 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2723, 26eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2827eqeq1d 2730 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
2921, 28bitrid 282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
3020, 29bitr4d 281 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
319, 30sylan2 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
327, 31mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
33 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐼)
3415adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3510, 12, 11, 13dihrnss 40791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3615, 35sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
3710, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36hlhilocv 41474 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3837fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
3934, 36, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4010, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39hlhilocv 41474 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4138, 40eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4241eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯ ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
4342biimpar 476 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4443eqcomd 2734 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯) β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))
4544ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯ β†’ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4610, 11, 12, 13, 14, 34, 36dochoccl 40882 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = π‘₯))
472, 5mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ = ((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜((ocvβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
4845, 46, 473imtr4d 293 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐼 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
4933, 48mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
5032, 49impbida 799 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐼))
5150eqrdv 2726 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  ocvcocv 21606  ClSubSpccss 21607  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  DIsoHcdih 40741  ocHcoch 40860  HLHilchlh 41445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-ocv 21609  df-css 21610  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138  df-hvmap 41270  df-hdmap1 41306  df-hdmap 41307  df-hlhil 41446
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41477
  Copyright terms: Public domain W3C validator