Theorem hlhillcs 42404

Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 42382 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillcs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillcs.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
hlhillcs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhillcs	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Proof of Theorem hlhillcs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillcs.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
2	1	fvexi 6855	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
4		hlhillcs.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
5	3, 4	iscss 21663	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
6	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
7	6	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9	8, 4	cssss 21665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈))
10		hlhillcs.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hlhillcs.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15		hlhillcs.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10, 1, 15, 12, 13	hlhilbase 42382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
18	17	sseq2d 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
20	10, 11, 12, 13, 14, 16, 19	dochoccl 41815	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
21		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
22	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 19	hlhilocv 42403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
23	22	fveq2d 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
24	10, 12, 13, 14	dochssv 41801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
25	16, 19, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
26	10, 12, 1, 16, 13, 14, 3, 25	hlhilocv 42403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
27	23, 26	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
28	27	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
29	21, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
30	20, 29	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
31	9, 30	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
32	7, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	10, 12, 11, 13	dihrnss 41724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
36	15, 35	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
37	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 36	hlhilocv 42403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
38	37	fveq2d 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39	34, 36, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
40	10, 12, 1, 34, 13, 14, 3, 39	hlhilocv 42403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
41	38, 40	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
42	41	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
43	42	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
44	43	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
46	10, 11, 12, 13, 14, 34, 36	dochoccl 41815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
47	2, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
48	45, 46, 47	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝐶))
49	33, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50	32, 49	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐼))
51	50	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ran crn 5632  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  ocvcocv 21640  ClSubSpccss 21641  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  DIsoHcdih 41674  ocHcoch 41793  HLHilchlh 42378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-ocv 21643  df-css 21644  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-lcdual 42033  df-mapd 42071  df-hvmap 42203  df-hdmap1 42239  df-hdmap 42240  df-hlhil 42379

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  42406