![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of division: if ๐ด and ๐ต are complex numbers with ๐ต nonzero, then (๐ด / ๐ต) is the (unique) complex number such that (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด. (Contributed by NM, 8-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
divval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldifsn 4791 | . . 3 โข (๐ต โ (โ โ {0}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
2 | eqeq2 2740 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ด โ ((๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) | |
3 | 2 | riotabidv 7378 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | oveq1 7427 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = (๐ต ยท ๐ฅ)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2730 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
6 | 5 | riotabidv 7378 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
7 | df-div 11903 | . . . 4 โข / = (๐ง โ โ, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง)) | |
8 | riotaex 7380 | . . . 4 โข (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) โ V | |
9 | 3, 6, 7, 8 | ovmpo 7581 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โ โ {0})) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
10 | 1, 9 | sylan2br 594 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
11 | 10 | 3impb 1113 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2937 โ cdif 3944 {csn 4629 โฉcrio 7375 (class class class)co 7420 โcc 11137 0cc0 11139 ยท cmul 11144 / cdiv 11902 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-div 11903 |
This theorem is referenced by: divmul 11906 divcl 11909 cnflddiv 21328 cnflddivOLD 21329 divcnOLD 24797 divcn 24799 rexdiv 32662 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |