![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of division: if ๐ด and ๐ต are complex numbers with ๐ต nonzero, then (๐ด / ๐ต) is the (unique) complex number such that (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด. (Contributed by NM, 8-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
divval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldifsn 4747 | . . 3 โข (๐ต โ (โ โ {0}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
2 | eqeq2 2748 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ด โ ((๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) | |
3 | 2 | riotabidv 7315 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | oveq1 7364 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = (๐ต ยท ๐ฅ)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2738 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
6 | 5 | riotabidv 7315 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
7 | df-div 11813 | . . . 4 โข / = (๐ง โ โ, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = ๐ง)) | |
8 | riotaex 7317 | . . . 4 โข (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) โ V | |
9 | 3, 6, 7, 8 | ovmpo 7515 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โ โ {0})) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
10 | 1, 9 | sylan2br 595 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
11 | 10 | 3impb 1115 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2943 โ cdif 3907 {csn 4586 โฉcrio 7312 (class class class)co 7357 โcc 11049 0cc0 11051 ยท cmul 11056 / cdiv 11812 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pr 5384 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-br 5106 df-opab 5168 df-id 5531 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-div 11813 |
This theorem is referenced by: divmul 11816 divcl 11819 cnflddiv 20827 divcn 24231 rexdiv 31782 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |