MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divval 11815
Description: Value of division: if ๐ด and ๐ต are complex numbers with ๐ต nonzero, then (๐ด / ๐ต) is the (unique) complex number such that (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด. (Contributed by NM, 8-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
divval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem divval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4747 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
2 eqeq2 2748 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
32riotabidv 7315 . . . 4 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
4 oveq1 7364 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
54eqeq1d 2738 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
65riotabidv 7315 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
7 df-div 11813 . . . 4 / = (๐‘ง โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง))
8 riotaex 7317 . . . 4 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) โˆˆ V
93, 6, 7, 8ovmpo 7515 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
101, 9sylan2br 595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
11103impb 1115 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943   โˆ– cdif 3907  {csn 4586  โ„ฉcrio 7312  (class class class)co 7357  โ„‚cc 11049  0cc0 11051   ยท cmul 11056   / cdiv 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-div 11813
This theorem is referenced by:  divmul  11816  divcl  11819  cnflddiv  20827  divcn  24231  rexdiv  31782
  Copyright terms: Public domain W3C validator