MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divval 11905
Description: Value of division: if ๐ด and ๐ต are complex numbers with ๐ต nonzero, then (๐ด / ๐ต) is the (unique) complex number such that (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด. (Contributed by NM, 8-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
divval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem divval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4791 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
2 eqeq2 2740 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
32riotabidv 7378 . . . 4 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
4 oveq1 7427 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
54eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
65riotabidv 7378 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
7 df-div 11903 . . . 4 / = (๐‘ง โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ง))
8 riotaex 7380 . . . 4 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) โˆˆ V
93, 6, 7, 8ovmpo 7581 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
101, 9sylan2br 594 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
11103impb 1113 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3944  {csn 4629  โ„ฉcrio 7375  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139   ยท cmul 11144   / cdiv 11902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-div 11903
This theorem is referenced by:  divmul  11906  divcl  11909  cnflddiv  21328  cnflddivOLD  21329  divcnOLD  24797  divcn  24799  rexdiv  32662
  Copyright terms: Public domain W3C validator