MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcl 10979
Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 21-Jul-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
divcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divval 10975 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
2 receu 10960 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
3 riotacl 6852 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4eqeltrd 2892 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  ∃!wreu 3105  crio 6837  (class class class)co 6877  cc 10222  0cc0 10224   · cmul 10229   / cdiv 10972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973
This theorem is referenced by:  reccl  10980  divcan2  10981  divcan1  10982  div23  10992  div12  10995  divmulasscom  10997  div11  11001  divsubdir  11009  divmuldiv  11013  divdivdiv  11014  divcan5  11015  divmuleq  11018  divcan6  11020  divdiv32  11021  dmdcan  11023  ddcan  11027  divsubdiv  11029  div2neg  11036  divclzi  11048  divcld  11089  nndivtr  11351  halfcl  11527  sqdiv  13154  cjdiv  14130  absdiv  14261  sinf  15077  efi4p  15090  dvrec  23938  efeq1  24496  efif1olem4  24512  axcontlem4  26067  dipcl  27901  spansncol  28761  subfaclim  31498  sinccvglem  31893  nndivsub  32778  ftc1anclem6  33804  lhe4.4ex1a  39029
  Copyright terms: Public domain W3C validator