Theorem divcl 11296

Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 21-Jul-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divval 11292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
2		receu 11277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
3		riotacl 7123	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrd 2911	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∃!wreu 3138  ℩crio 7105  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529   · cmul 10534   / cdiv 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290

This theorem is referenced by:  reccl  11297  divcan2  11298  divcan1  11299  div23  11309  div12  11312  divmulasscom  11314  div11  11318  divsubdir  11326  divmuldiv  11332  divdivdiv  11333  divcan5  11334  divmuleq  11337  divcan6  11339  divdiv32  11340  dmdcan  11342  ddcan  11346  divsubdiv  11348  div2neg  11355  divclzi  11367  divcld  11408  nndivtr  11676  halfcl  11854  sqdiv  13479  cjdiv  14515  absdiv  14647  sinf  15469  efi4p  15482  dvrec  24544  efeq1  25105  efif1olem4  25121  logbgcd1irr  25364  axcontlem4  26745  dipcl  28481  spansncol  29337  subfaclim  32428  sinccvglem  32908  nndivsub  33798  ftc1anclem6  34964  lhe4.4ex1a  40651