![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 21-Jul-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
divcl | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divval 11881 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) | |
2 | receu 11866 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ โ!๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) | |
3 | riotacl 7386 | . . 3 โข (โ!๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) โ โ) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) โ โ) |
5 | 1, 4 | eqeltrd 2832 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 โ!wreu 3373 โฉcrio 7367 (class class class)co 7412 โcc 11114 0cc0 11116 ยท cmul 11121 / cdiv 11878 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8709 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 |
This theorem is referenced by: reccl 11886 divcan2 11887 divcan1 11888 div23 11898 div12 11901 divmulasscom 11903 div11 11907 divsubdir 11915 divmuldiv 11921 divdivdiv 11922 divcan5 11923 divmuleq 11926 divcan6 11928 divdiv32 11929 dmdcan 11931 ddcan 11935 divsubdiv 11937 div2neg 11944 divclzi 11956 divcld 11997 nndivtr 12266 halfcl 12444 sqdiv 14093 cjdiv 15118 absdiv 15249 sinf 16074 efi4p 16087 dvrec 25720 efeq1 26288 efif1olem4 26305 logbgcd1irr 26550 axcontlem4 28507 dipcl 30247 spansncol 31103 subfaclim 34492 sinccvglem 34970 nndivsub 35658 ftc1anclem6 36882 lhe4.4ex1a 43403 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |