HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 120 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 11901-12000   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremdiv12d 11901 A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)))
 
Theoremdiv23d 11902 A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))
 
Theoremdivdird 11903 Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivsubdird 11904 Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdiv11d 11905 One-to-one relationship for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdivmuldivd 11906 Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremdivmul13d 11907 Swap denominators of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ถ / ๐ต) ยท (๐ด / ๐ท)))
 
Theoremdivmul24d 11908 Swap the numerators in the product of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ท) ยท (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremdivadddivd 11909 Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremdivsubdivd 11910 Subtraction of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremdivmuleqd 11911 Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (๐ถ / ๐ท) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremdivdivdivd 11912 Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdiveq1bd 11913 If two complex numbers are equal, their quotient is one. One-way deduction form of diveq1 11780. Converse of diveq1d 11873. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = 1)
 
Theoremdiv2sub 11914 Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremdiv2subd 11915 Swap subtrahend and minuend inside the numerator and denominator of a fraction. Deduction form of div2sub 11914. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremrereccld 11916 Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
 
Theoremredivcld 11917 Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremsubrec 11918 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremsubreci 11919 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด โ‰  0    &   ๐ต โ‰  0    โ‡’   ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubrecd 11920 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremmvllmuld 11921 Move the left term in a product on the LHS to the RHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ถ / ๐ด))
 
Theoremmvllmuli 11922 Move the left term in a product on the LHS to the RHS, inference form. Uses divcan4i 11836. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด โ‰  0    &   (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ    โ‡’   ๐ต = (๐ถ / ๐ด)
 
Theoremldiv 11923 Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremrdiv 11924 Right-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ต = (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremmdiv 11925 A division law. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ต = (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremlineq 11926 Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) = ๐‘Œ โ†” ๐‘‹ = ((๐‘Œ โˆ’ ๐ต) / ๐ด)))
 
5.3.7  Ordering on reals (cont.)
 
Theoremelimgt0 11927 Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 < ๐ด. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
0 < if(0 < ๐ด, ๐ด, 1)
 
Theoremelimge0 11928 Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 โ‰ค ๐ด. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)
0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)
 
Theoremltp1 11929 A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
 
Theoremlep1 11930 A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + 1))
 
Theoremltm1 11931 A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ๐ด)
 
Theoremlem1 11932 A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremletrp1 11933 A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + 1))
 
Theoremp1le 11934 A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
 
Theoremrecgt0 11935 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremprodgt0 11936 Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremprodgt02 11937 Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
 
Theoremltmul1a 11938 Lemma for ltmul1 11939. Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremltmul1 11939 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremltmul2 11940 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1 11941 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemul2 11942 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1a 11943 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremlemul2a 11944 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremltmul12a 11945 Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12b 11946 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremlemul12a 11947 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremmulgt1 11948 The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremltmulgt11 11949 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremltmulgt12 11950 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ด)))
 
Theoremlemulge11 11951 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge12 11952 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
 
Theoremltdiv1 11953 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlediv1 11954 Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremgt0div 11955 Division of a positive number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 < (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremge0div 11956 Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremdivgt0 11957 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivge0 11958 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
 
Theoremmulge0b 11959 A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))
 
Theoremmulle0b 11960 A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค 0))))
 
Theoremmulsuble0b 11961 A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โˆจ (๐ถ โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด))))
 
Theoremltmuldiv 11962 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldiv2 11963 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltdivmul 11964 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremledivmul 11965 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdivmul2 11966 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlt2mul2div 11967 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremledivmul2 11968 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemuldiv 11969 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlemuldiv2 11970 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltrec 11971 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
 
Theoremlerec 11972 The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremlt2msq1 11973 Lemma for lt2msq 11974. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))
 
Theoremlt2msq 11974 Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremltdiv2 11975 Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremltrec1 11976 Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((1 / ๐ด) < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < ๐ด))
 
Theoremlerec2 11977 Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค (1 / ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremledivdiv 11978 Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ท) โ†” (๐ท / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ด)))
 
Theoremlediv2 11979 Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremltdiv23 11980 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremlediv23 11981 Swap denominator with other side of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 30-May-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremlediv12a 11982 Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremlediv2a 11983 Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด))
 
Theoremreclt1 11984 The reciprocal of a positive number less than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด < 1 โ†” 1 < (1 / ๐ด)))
 
Theoremrecgt1 11985 The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 / ๐ด) < 1))
 
Theoremrecgt1i 11986 The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 1))
 
Theoremrecp1lt1 11987 Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)
 
Theoremrecreclt 11988 Given a positive number ๐ด, construct a new positive number less than both ๐ด and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 / (1 + (1 / ๐ด))) < 1 โˆง (1 / (1 + (1 / ๐ด))) < ๐ด))
 
Theoremle2msq 11989 The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremmsq11 11990 The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremledivp1 11991 "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremsqueeze0 11992* If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โ†’ ๐ด < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremltp1i 11993 A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   ๐ด < (๐ด + 1)
 
Theoremrecgt0i 11994 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremrecgt0ii 11995 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    โ‡’   0 < (1 / ๐ด)
 
Theoremprodgt0i 11996 Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremdivgt0i 11997 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivge0i 11998 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltreci 11999 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
 
Theoremlereci 12000 The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >