MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcn 24799
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11219. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mpomulcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
divcn / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 11903 . . 3 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3 divval 11905 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 divrec 11919 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
53, 4eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
653expb 1118 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
72, 6sylan2b 593 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
87mpoeq3ia 7498 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
91, 8eqtri 2756 . 2 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10 mpomulcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1110cnfldtopon 24712 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13 divcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
14 difss 4130 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15 resttopon 23078 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1612, 14, 15sylancl 585 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1713, 16eqeltrid 2833 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1812, 17cnmpt1st 23585 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
1912, 17cnmpt2nd 23586 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
22 eldifsni 4794 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
2321, 22reccld 12014 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2420, 23fmpti 7122 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2))
2625reccn2 15574 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
27 ovres 7587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
28 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 24700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
32 abssub 15306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3331, 32eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3428, 29, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3527, 34eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3635breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 ↔ (abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎))
37 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38 ovex 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥) ∈ V
3937, 20, 38fvmpt 7005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
41 ovex 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑦) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 7005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦) = (1 / 𝑦))
4339, 42oveqan12d 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)))
44 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
4528, 44reccld 12014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
46 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4729, 46reccld 12014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
4830cnmetdval 24700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))))
49 abssub 15306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
5048, 49eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
5145, 47, 50syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
5243, 51eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
5352breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
5436, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
5554ralbidva 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
5655rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
5826, 57mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))
5958rgen2 3194 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)
60 cnxmet 24702 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
61 xmetres2 24280 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
6260, 14, 61mp2an 691 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
63 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
6410cnfldtopn 24711 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6663, 64, 65metrest 24446 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
6760, 14, 66mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6813, 67eqtri 2756 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6968, 64metcn 24465 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))))
7062, 60, 69mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)))
7124, 59, 70mpbir2an 710 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7271a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
7312, 17, 19, 17, 72, 40cnmpt21 23588 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
7410mpomulcn 24798 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
7574a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76 oveq12 7429 . . . 4 ((𝑢 = 𝑥𝑣 = (1 / 𝑦)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
7712, 17, 18, 73, 12, 12, 75, 76cnmpt22 23591 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
7877mptru 1541 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
799, 78eqeltri 2825 1 / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5676  cres 5680  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  crio 7375  (class class class)co 7420  cmpo 7422  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  +crp 13007  abscabs 15214  t crest 17402  TopOpenctopn 17403  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269  fldccnfld 21279  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   ×t ctx 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241
This theorem is referenced by:  cdivcncf  24854  evth  24898  dvcnvlem  25921  lhop1lem  25959
  Copyright terms: Public domain W3C validator