Theorem divcn 24906

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
divcn	⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn

Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-div 11919	. . 3 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2		eldifsn 4791	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3		divval 11922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		divrec 11936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
5	3, 4	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
6	5	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
7	2, 6	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
8	7	mpoeq3ia 7511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
9	1, 8	eqtri 2763	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10		mpomulcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
11	10	cnfldtopon 24819	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13		divcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))
14		difss 4146	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15		resttopon 23185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
16	12, 14, 15	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
17	13, 16	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
18	12, 17	cnmpt1st 23692	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
19	12, 17	cnmpt2nd 23693	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21		eldifi 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
23	21, 22	reccld 12034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
24	20, 23	fmpti 7132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2))
26	25	reccn2 15630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
27		ovres 7599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
28		eldifi 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		eldifi 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
31	30	cnmetdval 24807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
32		abssub 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
33	31, 32	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
34	28, 29, 33	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
35	27, 34	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
36	35	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎))
37		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
39	37, 20, 38	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
41		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑦) ∈ V
42	40, 20, 41	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦) = (1 / 𝑦))
43	39, 42	oveqan12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)))
44		eldifsni 4795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
45	28, 44	reccld 12034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
47	29, 46	reccld 12034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
48	30	cnmetdval 24807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))))
49		abssub 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
50	48, 49	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
51	45, 47, 50	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
52	43, 51	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
53	52	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
54	36, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
55	54	ralbidva 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
56	55	rexbidv 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
58	26, 57	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))
59	58	rgen2 3197	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)
60		cnxmet 24809	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
61		xmetres2 24387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
62	60, 14, 61	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
63		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
64	10	cnfldtopn 24818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
66	63, 64, 65	metrest 24553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
67	60, 14, 66	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
68	13, 67	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
69	68, 64	metcn 24572	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))))
70	62, 60, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)))
71	24, 59, 70	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
73	12, 17, 19, 17, 72, 40	cnmpt21 23695	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
74	10	mpomulcn 24905	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76		oveq12 7440	. . . 4 ⊢ ((𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = (1 / 𝑦)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
77	12, 17, 18, 73, 12, 12, 75, 76	cnmpt22 23698	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	77	mptru 1544	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
79	9, 78	eqeltri 2835	1 ⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  ℂ_fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×_t ctx 23584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348

This theorem is referenced by:  cdivcncf  24961  evth  25005  dvcnvlem  26029  lhop1lem  26067