Theorem divcn 24784

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11083. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
divcn	⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn

Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-div 11772	. . 3 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2		eldifsn 4738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3		divval 11775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		divrec 11789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
5	3, 4	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
7	2, 6	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
8	7	mpoeq3ia 7424	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
9	1, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10		mpomulcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
11	10	cnfldtopon 24695	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13		divcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))
14		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15		resttopon 23074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
16	12, 14, 15	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
17	13, 16	eqeltrid 2835	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
18	12, 17	cnmpt1st 23581	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
19	12, 17	cnmpt2nd 23582	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
23	21, 22	reccld 11887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
24	20, 23	fmpti 7045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2))
26	25	reccn2 15501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
27		ovres 7512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
28		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
31	30	cnmetdval 24683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
32		abssub 15231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
33	31, 32	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
34	28, 29, 33	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
35	27, 34	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
36	35	breq1d 5101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎))
37		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
39	37, 20, 38	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
41		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑦) ∈ V
42	40, 20, 41	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦) = (1 / 𝑦))
43	39, 42	oveqan12d 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)))
44		eldifsni 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
45	28, 44	reccld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
47	29, 46	reccld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
48	30	cnmetdval 24683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))))
49		abssub 15231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
50	48, 49	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
51	45, 47, 50	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
52	43, 51	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
53	52	breq1d 5101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
54	36, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
55	54	ralbidva 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
56	55	rexbidv 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
58	26, 57	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))
59	58	rgen2 3172	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)
60		cnxmet 24685	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
61		xmetres2 24274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
62	60, 14, 61	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
63		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
64	10	cnfldtopn 24694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
66	63, 64, 65	metrest 24437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
67	60, 14, 66	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
68	13, 67	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
69	68, 64	metcn 24456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))))
70	62, 60, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)))
71	24, 59, 70	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
73	12, 17, 19, 17, 72, 40	cnmpt21 23584	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
74	10	mpomulcn 24783	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76		oveq12 7355	. . . 4 ⊢ ((𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = (1 / 𝑦)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
77	12, 17, 18, 73, 12, 12, 75, 76	cnmpt22 23587	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	77	mptru 1548	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
79	9, 78	eqeltri 2827	1 ⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4475  {csn 4576   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  2c2 12177  ℝ⁺crp 12887  abscabs 15138   ↾_t crest 17321  TopOpenctopn 17322  ∞Metcxmet 21274  MetOpencmopn 21279  ℂ_fldccnfld 21289  TopOnctopon 22823   Cn ccn 23137   ×_t ctx 23473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235

This theorem is referenced by:  cdivcncf  24839  evth  24883  dvcnvlem  25905  lhop1lem  25943