Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcn 23452
 Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
divcn.k 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
divcn / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 11275 . . 3 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2 eldifsn 4692 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3 divval 11277 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 divrec 11291 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
53, 4eqtr3d 2858 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
653expb 1117 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
72, 6sylan2b 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
87mpoeq3ia 7206 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
91, 8eqtri 2844 . 2 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10 addcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1110cnfldtopon 23367 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13 divcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
14 difss 4084 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15 resttopon 21745 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1612, 14, 15sylancl 589 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1713, 16eqeltrid 2916 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1812, 17cnmpt1st 22252 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
1912, 17cnmpt2nd 22253 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21 eldifsn 4692 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
22 reccl 11282 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2321, 22sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2420, 23fmpti 6849 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2))
2625reccn2 14932 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
27 ovres 7289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
28 eldifi 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 eldifi 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑤 ∈ ℂ)
30 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 23355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
32 abssub 14665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3331, 32eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3428, 29, 33syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3527, 34eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3635breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢))
37 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38 ovex 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥) ∈ V
3937, 20, 38fvmpt 6741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑤))
41 ovex 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑤) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
4339, 42oveqan12d 7149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
44 eldifsn 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
45 reccl 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
4644, 45sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
47 eldifsn 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
48 reccl 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
4947, 48sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
5030cnmetdval 23355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))))
51 abssub 14665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5250, 51eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5346, 49, 52syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5443, 53eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5554breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
5636, 55imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5756ralbidva 3184 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5857rexbidv 3283 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5958adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
6026, 59mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))
6160rgen2 3191 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)
62 cnxmet 23357 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63 xmetres2 22947 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
6462, 14, 63mp2an 691 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
65 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
6610cnfldtopn 23366 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
67 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6865, 66, 67metrest 23110 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
6962, 14, 68mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7013, 69eqtri 2844 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7170, 66metcn 23129 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))))
7264, 62, 71mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)))
7324, 61, 72mpbir2an 710 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7473a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
75 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 22255 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
7710mulcn 23451 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
7877a1i 11 . . . 4 (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 22259 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
8079mptru 1545 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
819, 80eqeltri 2908 1 / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ifcif 4440  {csn 4540   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119   × cxp 5526   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  (class class class)co 7130   ∈ cmpo 7132  ℂcc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  ℝ+crp 12367  abscabs 14572   ↾t crest 16673  TopOpenctopn 16674  ∞Metcxmet 20506  MetOpencmopn 20511  ℂfldccnfld 20521  TopOnctopon 21494   Cn ccn 21808   ×t ctx 22144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908 This theorem is referenced by:  cdivcncf  23505  evth  23543  dvcnvlem  24558  lhop1lem  24595
 Copyright terms: Public domain W3C validator