Theorem divcn 23048

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
divcn	⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-div 11017	. . 3 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2		eldifsn 4538	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3		divval 11019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		divrec 11033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
5	3, 4	eqtr3d 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
6	5	3expb 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
7	2, 6	sylan2b 587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
8	7	mpt2eq3ia 6985	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
9	1, 8	eqtri 2849	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10		addcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
11	10	cnfldtopon 22963	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13		divcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))
14		difss 3966	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15		resttopon 21343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
16	12, 14, 15	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
17	13, 16	syl5eqel 2910	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
18	12, 17	cnmpt1st 21849	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
19	12, 17	cnmpt2nd 21850	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21		eldifsn 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
22		reccl 11024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylbi 209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
24	20, 23	fmpti 6636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2))
26	25	reccn2 14711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
27		ovres 7065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
28		eldifi 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		eldifi 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑤 ∈ ℂ)
30		eqid 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
31	30	cnmetdval 22951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
32		abssub 14450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
33	31, 32	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
34	28, 29, 33	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
35	27, 34	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
36	35	breq1d 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢))
37		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38		ovex 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
39	37, 20, 38	fvmpt 6533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑤))
41		ovex 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑤) ∈ V
42	40, 20, 41	fvmpt 6533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
43	39, 42	oveqan12d 6929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
44		eldifsn 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
45		reccl 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
46	44, 45	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
47		eldifsn 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
48		reccl 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
49	47, 48	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
50	30	cnmetdval 22951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))))
51		abssub 14450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
52	50, 51	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
53	46, 49, 52	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
54	43, 53	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
55	54	breq1d 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
56	36, 55	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
57	56	ralbidva 3194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
58	57	rexbidv 3262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
59	58	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
60	26, 59	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))
61	60	rgen2 3184	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)
62		cnxmet 22953	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		xmetres2 22543	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
64	62, 14, 63	mp2an 683	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
65		eqid 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
66	10	cnfldtopn 22962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
67		eqid 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
68	65, 66, 67	metrest 22706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
69	62, 14, 68	mp2an 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
70	13, 69	eqtri 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
71	70, 66	metcn 22725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))))
72	64, 62, 71	mp2an 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)))
73	24, 61, 72	mpbir2an 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
74	73	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
75		oveq2 6918	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
76	12, 17, 19, 17, 74, 75	cnmpt21 21852	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
77	10	mulcn 23047	. . . . 5 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
79	12, 17, 18, 76, 78	cnmpt22f 21856	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
80	79	mptru 1664	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
81	9, 80	eqeltri 2902	1 ⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656  ⊤wtru 1657   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   × cxp 5344   ↾ cres 5348   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  ℝ⁺crp 12119  abscabs 14358   ↾_t crest 16441  TopOpenctopn 16442  ∞Metcxmet 20098  MetOpencmopn 20103  ℂ_fldccnfld 20113  TopOnctopon 21092   Cn ccn 21406   ×_t ctx 21741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504

This theorem is referenced by:  cdivcncf  23097  evth  23135  dvcnvlem  24145  lhop1lem  24182