Theorem divcn 25219

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11307. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
divcn	⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn

Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-div 12001	. . 3 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3		divval 12003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		divrec 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
5	3, 4	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
6	5	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
7	2, 6	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
8	7	mpoeq3ia 7521	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
9	1, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10		mpomulcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
11	10	cnfldtopon 25131	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13		divcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0}))
14		difss 4075	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15		resttopon 23509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
16	12, 14, 15	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
17	13, 16	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
18	12, 17	cnmpt1st 24017	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
19	12, 17	cnmpt2nd 24018	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21		eldifi 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
23	21, 22	reccld 12113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
24	20, 23	fmpti 7136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑤), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑤)) · ((abs‘𝑥) / 2))
26	25	reccn2 15793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
27		ovres 7610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
28		eldifi 4070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		eldifi 4070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
31	30	cnmetdval 25119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
32		abssub 15523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
33	31, 32	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
34	28, 29, 33	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
35	27, 34	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
36	35	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎))
37		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38		ovex 7476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
39	37, 20, 38	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
41		ovex 7476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 𝑦) ∈ V
42	40, 20, 41	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦) = (1 / 𝑦))
43	39, 42	oveqan12d 7462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)))
44		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
45	28, 44	reccld 12113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
47	29, 46	reccld 12113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
48	30	cnmetdval 25119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))))
49		abssub 15523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑦))) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
50	48, 49	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
51	45, 47, 50	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
52	43, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) = (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))))
53	52	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤))
54	36, 53	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
55	54	ralbidva 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
56	55	rexbidv 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑦 − 𝑥)) < 𝑎 → (abs‘((1 / 𝑦) − (1 / 𝑥))) < 𝑤)))
58	26, 57	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))
59	58	rgen2 3206	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)
60		cnxmet 25121	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
61		xmetres2 24710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
62	60, 14, 61	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
63		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
64	10	cnfldtopn 25130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
66	63, 64, 65	metrest 24873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
67	60, 14, 66	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
68	13, 67	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
69	68, 64	metcn 24892	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤))))
70	62, 60, 69	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) < 𝑎 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑦)) < 𝑤)))
71	24, 59, 70	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
73	12, 17, 19, 17, 72, 40	cnmpt21 24020	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
74	10	mpomulcn 25218	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76		oveq12 7452	. . . 4 ⊢ ((𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = (1 / 𝑦)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
77	12, 17, 18, 73, 12, 12, 75, 76	cnmpt22 24023	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	77	mptru 1577	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
79	9, 78	eqeltri 2860	1 ⊢ / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ℝ⁺crp 13147  abscabs 15430   ↾_t crest 17620  TopOpenctopn 17621  ∞Metcxmet 21693  MetOpencmopn 21698  ℂ_fldccnfld 21708  TopOnctopon 23258   Cn ccn 23572   ×_t ctx 23909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671

This theorem is used by:  cdivcncf  25272  evth  25310  dvcnvlem  26326  lhop1lem  26363