MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcn 24384
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
divcn.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
divcn / ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 11872 . . 3 / = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯))
2 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
3 divval 11874 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (π‘₯ / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯))
4 divrec 11888 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (π‘₯ / 𝑦) = (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
53, 4eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯) = (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
653expb 1121 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯) = (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
72, 6sylan2b 595 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯) = (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
87mpoeq3ia 7487 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ β„‚ (𝑦 Β· 𝑧) = π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
91, 8eqtri 2761 . 2 / = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯ Β· (1 / 𝑦)))
10 addcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1110cnfldtopon 24299 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1211a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
13 divcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0}))
14 difss 4132 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
15 resttopon 22665 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ βˆ– {0})))
1612, 14, 15sylancl 587 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ βˆ– {0})))
1713, 16eqeltrid 2838 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ βˆ– {0})))
1812, 17cnmpt1st 23172 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
1912, 17cnmpt2nd 23173 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  0))
22 reccl 11879 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  0) β†’ (1 / 𝑧) ∈ β„‚)
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑧) ∈ β„‚)
2420, 23fmpti 7112 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (if(1 ≀ ((absβ€˜π‘₯) Β· 𝑦), 1, ((absβ€˜π‘₯) Β· 𝑦)) Β· ((absβ€˜π‘₯) / 2)) = (if(1 ≀ ((absβ€˜π‘₯) Β· 𝑦), 1, ((absβ€˜π‘₯) Β· 𝑦)) Β· ((absβ€˜π‘₯) / 2))
2625reccn2 15541 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦))
27 ovres 7573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
28 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
29 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
3130cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
32 abssub 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)))
3331, 32eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)))
3428, 29, 33syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)))
3527, 34eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)))
3635breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒))
37 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘₯ β†’ (1 / 𝑧) = (1 / π‘₯))
38 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / π‘₯) ∈ V
3937, 20, 38fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯) = (1 / π‘₯))
40 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑀 β†’ (1 / 𝑧) = (1 / 𝑀))
41 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑀) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€) = (1 / 𝑀))
4339, 42oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) = ((1 / π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)))
44 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
45 reccl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
4644, 45sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
47 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
48 reccl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
4947, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
5030cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ ((1 / π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / π‘₯) βˆ’ (1 / 𝑀))))
51 abssub 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((1 / π‘₯) βˆ’ (1 / 𝑀))) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))))
5250, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ ((1 / π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))))
5346, 49, 52syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((1 / π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))))
5443, 53eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))))
5554breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦))
5636, 55imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦)))
5756ralbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦)))
5857rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦)))
5958adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯))) < 𝑦)))
6026, 59mpbird 257 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦))
6160rgen2 3198 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦)
62 cnxmet 24289 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
63 xmetres2 23867 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))) ∈ (∞Metβ€˜(β„‚ βˆ– {0})))
6462, 14, 63mp2an 691 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))) ∈ (∞Metβ€˜(β„‚ βˆ– {0}))
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))
6610cnfldtopn 24298 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
67 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))))
6865, 66, 67metrest 24033 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0})) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))))
6962, 14, 68mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– {0})) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))))
7013, 69eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))))
7170, 66metcn 24052 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0}))) ∈ (∞Metβ€˜(β„‚ βˆ– {0})) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦))))
7264, 62, 71mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((β„‚ βˆ– {0}) Γ— (β„‚ βˆ– {0})))𝑀) < 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧))β€˜π‘€)) < 𝑦)))
7324, 61, 72mpbir2an 710 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7473a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
75 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 β†’ (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 23175 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
7710mulcn 24383 . . . . 5 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
7877a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 23179 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯ Β· (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
8079mptru 1549 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯ Β· (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)
819, 80eqeltri 2830 1 / ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  cdivcncf  24437  evth  24475  dvcnvlem  25493  lhop1lem  25530
  Copyright terms: Public domain W3C validator