MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcn 24031
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
divcn / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 11633 . . 3 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2 eldifsn 4720 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3 divval 11635 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 divrec 11649 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
53, 4eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
653expb 1119 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
72, 6sylan2b 594 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
87mpoeq3ia 7353 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
91, 8eqtri 2766 . 2 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10 addcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1110cnfldtopon 23946 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13 divcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
14 difss 4066 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15 resttopon 22312 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1612, 14, 15sylancl 586 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1713, 16eqeltrid 2843 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1812, 17cnmpt1st 22819 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
1912, 17cnmpt2nd 22820 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21 eldifsn 4720 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
22 reccl 11640 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2420, 23fmpti 6986 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2))
2625reccn2 15306 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
27 ovres 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
28 eldifi 4061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 eldifi 4061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑤 ∈ ℂ)
30 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
32 abssub 15038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3331, 32eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3428, 29, 33syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3527, 34eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3635breq1d 5084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢))
37 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥) ∈ V
3937, 20, 38fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑤))
41 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑤) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
4339, 42oveqan12d 7294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
44 eldifsn 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
45 reccl 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
4644, 45sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
47 eldifsn 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
48 reccl 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
4947, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
5030cnmetdval 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))))
51 abssub 15038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5250, 51eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5346, 49, 52syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5443, 53eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5554breq1d 5084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
5636, 55imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5756ralbidva 3111 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5857rexbidv 3226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
6026, 59mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))
6160rgen2 3120 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)
62 cnxmet 23936 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63 xmetres2 23514 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
6462, 14, 63mp2an 689 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
65 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
6610cnfldtopn 23945 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
67 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6865, 66, 67metrest 23680 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
6962, 14, 68mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7013, 69eqtri 2766 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7170, 66metcn 23699 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))))
7264, 62, 71mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)))
7324, 61, 72mpbir2an 708 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7473a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
75 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 22822 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
7710mulcn 24030 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
7877a1i 11 . . . 4 (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 22826 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
8079mptru 1546 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
819, 80eqeltri 2835 1 / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  cdif 3884  wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157   × cxp 5587  cres 5591  ccom 5593  wf 6429  cfv 6433  crio 7231  (class class class)co 7275  cmpo 7277  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730  abscabs 14945  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587  fldccnfld 20597  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375   ×t ctx 22711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475
This theorem is referenced by:  cdivcncf  24084  evth  24122  dvcnvlem  25140  lhop1lem  25177
  Copyright terms: Public domain W3C validator