Theorem cnflddiv 21456

Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11155. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnflddiv	⊢ / = (/r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnflddiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfldbas 21430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfld0 21450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
4		cndrng 21455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
5	2, 3, 4	drngui 20787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (/r‘ℂfld) = (/r‘ℂfld)
7	2, 5, 6	dvrcl 20455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
8	1, 7	mp3an1 1471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
9		difssd 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
11		ovmpot 7559	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
12	8, 10, 11	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
13		mpocnfldmul 21433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
14	2, 5, 6, 13	dvrcan1 20460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
15	1, 14	mp3an1 1471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
16	12, 15	eqtr3d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) = 𝑥)
17	16	oveq1d 7413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
18		eldifsni 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
20	8, 10, 19	divcan4d 11975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
21	17, 20	eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
22		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
23		divval 11849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
24	22, 10, 19, 23	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
25	21, 24	eqtr3d 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
26		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = (.r‘ℂfld)
27		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
28	2, 26, 5, 27, 6	dvrval 20454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
29	25, 28	eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
30	29	mpoeq3ia 7476	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
31		df-div 11847	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
32	2, 26, 5, 27, 6	dvrfval 20453	. 2 ⊢ (/r‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2797	1 ⊢ / = (/r‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∖ cdif 3903  {csn 4584  ‘cfv 6523  ℩crio 7354  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11846  ._rcmulr 17289  Ringcrg 20285  inv_rcinvr 20438  /_rcdvr 20451  ℂ_fldccnfld 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-cnfld 21427

This theorem is referenced by:  cnfldinv  21457  cnsubdrglem  21472  qsssubdrg  21480  redvr  21671  cvsdiv  25196  qrngdiv  27690  1fldgenq  33511  constrelextdg2  34046