Theorem cnflddiv 21353

Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11104. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnflddiv	⊢ / = (/r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnflddiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfldbas 21311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfld0 21345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
4		cndrng 21351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
5	2, 3, 4	drngui 20666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (/r‘ℂfld) = (/r‘ℂfld)
7	2, 5, 6	dvrcl 20338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
8	1, 7	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
9		difssd 4087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
11		ovmpot 7517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
13		mpocnfldmul 21314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
14	2, 5, 6, 13	dvrcan1 20343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
15	1, 14	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
16	12, 15	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) = 𝑥)
17	16	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
18		eldifsni 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
20	8, 10, 19	divcan4d 11921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
21	17, 20	eqtr3d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
23		divval 11796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
24	22, 10, 19, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
25	21, 24	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
26		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = (.r‘ℂfld)
27		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
28	2, 26, 5, 27, 6	dvrval 20337	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
29	25, 28	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
30	29	mpoeq3ia 7434	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
31		df-div 11793	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
32	2, 26, 5, 27, 6	dvrfval 20336	. 2 ⊢ (/r‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2767	1 ⊢ / = (/r‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4578  ‘cfv 6490  ℩crio 7312  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029   / cdiv 11792  ._rcmulr 17176  Ringcrg 20166  inv_rcinvr 20321  /_rcdvr 20334  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-drng 20662  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  cnfldinv  21355  cnsubdrglem  21371  qsssubdrg  21379  redvr  21570  cvsdiv  25086  qrngdiv  27589  1fldgenq  33353  constrelextdg2  33853