Theorem cnflddiv 21567

Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11190. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnflddiv	⊢ / = (/r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnflddiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfldbas 21541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfld0 21561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
4		cndrng 21566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
5	2, 3, 4	drngui 20848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (/r‘ℂfld) = (/r‘ℂfld)
7	2, 5, 6	dvrcl 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
8	1, 7	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
9		difssd 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
11		ovmpot 7577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦))
13		mpocnfldmul 21544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
14	2, 5, 6, 13	dvrcan1 20502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
15	1, 14	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = 𝑥)
16	12, 15	eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) = 𝑥)
17	16	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
18		eldifsni 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
20	8, 10, 19	divcan4d 12007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
21	17, 20	eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
22		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
23		divval 11884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
24	22, 10, 19, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
25	21, 24	eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
26		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = (.r‘ℂfld)
27		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
28	2, 26, 5, 27, 6	dvrval 20496	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
29	25, 28	eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
30	29	mpoeq3ia 7494	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
31		df-div 11882	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
32	2, 26, 5, 27, 6	dvrfval 20495	. 2 ⊢ (/r‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥(.r‘ℂfld)((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2799	1 ⊢ / = (/r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905  {csn 4592  ‘cfv 6540  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115   / cdiv 11881  ._rcmulr 17321  Ringcrg 20325  inv_rcinvr 20480  /_rcdvr 20493  ℂ_fldccnfld 21537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-0g 17504  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-cring 20328  df-oppr 20430  df-dvdsr 20450  df-unit 20451  df-invr 20481  df-dvr 20494  df-drng 20844  df-cnfld 21538

This theorem is used by:  cnfldinv  21568  cnsubdrglem  21583  qsssubdrg  21591  redvr  21782  cvsdiv  25306  qrngdiv  27803  1fldgenq  33656  constrelextdg2  34150