MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflddiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnflddiv 19992
Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnflddiv / = (/r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnflddiv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 19984 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
2 cnfldbas 19966 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfld0 19986 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
4 cndrng 19991 . . . . . . . . . 10 fld ∈ DivRing
52, 3, 4drngui 18964 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (/r‘ℂfld) = (/r‘ℂfld)
7 cnfldmul 19968 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
82, 5, 6, 7dvrcan1 18900 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) = 𝑥)
91, 8mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) = 𝑥)
109oveq1d 6809 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
112, 5, 6dvrcl 18895 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
121, 11mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) ∈ ℂ)
13 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
14 eldifsn 4454 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
1513, 14sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
1615simpld 478 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
1715simprd 479 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
1812, 16, 17divcan4d 11010 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) · 𝑦) / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
1910, 18eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦))
20 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 divval 10890 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2220, 16, 17, 21syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2319, 22eqtr3d 2807 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
24 eqid 2771 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
252, 7, 5, 24, 6dvrval 18894 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(/r‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 · ((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
2623, 25eqtr3d 2807 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · ((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
2726mpt2eq3ia 6868 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · ((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
28 df-div 10888 . 2 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
292, 7, 5, 24, 6dvrfval 18893 . 2 (/r‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · ((invr‘ℂfld)‘𝑦)))
3027, 28, 293eqtr4i 2803 1 / = (/r‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3721  {csn 4317  cfv 6032  crio 6754  (class class class)co 6794  cmpt2 6796  cc 10137  0cc0 10139   · cmul 10144   / cdiv 10887  Ringcrg 18756  invrcinvr 18880  /rcdvr 18891  fldccnfld 19962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-fz 12535  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-cmn 18403  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-dvr 18892  df-drng 18960  df-cnfld 19963
This theorem is referenced by:  cnfldinv  19993  cnsubdrglem  20013  qsssubdrg  20021  redvr  20181  cvsdiv  23152  qrngdiv  25535
  Copyright terms: Public domain W3C validator