Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
divmul | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divval 11681 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ด / ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) | |
2 | 1 | 3expb 1120 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
3 | 2 | 3adant2 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | 3 | eqeq1d 2738 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
5 | simp2 1137 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ต โ โ) | |
6 | receu 11666 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ โ!๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) | |
7 | 6 | 3expb 1120 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ โ!๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) |
8 | oveq2 7315 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
9 | 8 | eqeq1d 2738 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด)) |
10 | 9 | riota2 7290 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง โ!๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) โ ((๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
11 | 5, 7, 10 | 3imp3i2an 1345 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
12 | 4, 11 | bitr4d 282 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1087 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2941 โ!wreu 3282 โฉcrio 7263 (class class class)co 7307 โcc 10915 0cc0 10917 ยท cmul 10922 / cdiv 11678 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7620 ax-resscn 10974 ax-1cn 10975 ax-icn 10976 ax-addcl 10977 ax-addrcl 10978 ax-mulcl 10979 ax-mulrcl 10980 ax-mulcom 10981 ax-addass 10982 ax-mulass 10983 ax-distr 10984 ax-i2m1 10985 ax-1ne0 10986 ax-1rid 10987 ax-rnegex 10988 ax-rrecex 10989 ax-cnre 10990 ax-pre-lttri 10991 ax-pre-lttrn 10992 ax-pre-ltadd 10993 ax-pre-mulgt0 10994 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3285 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-op 4572 df-uni 4845 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-id 5500 df-po 5514 df-so 5515 df-xp 5606 df-rel 5607 df-cnv 5608 df-co 5609 df-dm 5610 df-rn 5611 df-res 5612 df-ima 5613 df-iota 6410 df-fun 6460 df-fn 6461 df-f 6462 df-f1 6463 df-fo 6464 df-f1o 6465 df-fv 6466 df-riota 7264 df-ov 7310 df-oprab 7311 df-mpo 7312 df-er 8529 df-en 8765 df-dom 8766 df-sdom 8767 df-pnf 11057 df-mnf 11058 df-xr 11059 df-ltxr 11060 df-le 11061 df-sub 11253 df-neg 11254 df-div 11679 |
This theorem is referenced by: divmul2 11683 divcan2 11687 divrec 11695 divcan3 11705 div0 11709 div1 11710 recrec 11718 rec11 11719 divdivdiv 11722 ddcan 11735 rereccl 11739 div2neg 11744 divmulzi 11772 divmuld 11819 crreczi 13989 odd2np1 16095 sqgcd 16315 oddprmdvds 16649 expgcd 40371 lighneallem4b 45119 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |