MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmul 11682
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
divmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด))

Proof of Theorem divmul
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divval 11681 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
213expb 1120 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
323adant2 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
43eqeq1d 2738 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
5 simp2 1137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6 receu 11666 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
763expb 1120 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
8 oveq2 7315 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท ๐ต))
98eqeq1d 2738 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด))
109riota2 7290 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
115, 7, 103imp3i2an 1345 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
124, 11bitr4d 282 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941  โˆƒ!wreu 3282  โ„ฉcrio 7263  (class class class)co 7307  โ„‚cc 10915  0cc0 10917   ยท cmul 10922   / cdiv 11678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679
This theorem is referenced by:  divmul2  11683  divcan2  11687  divrec  11695  divcan3  11705  div0  11709  div1  11710  recrec  11718  rec11  11719  divdivdiv  11722  ddcan  11735  rereccl  11739  div2neg  11744  divmulzi  11772  divmuld  11819  crreczi  13989  odd2np1  16095  sqgcd  16315  oddprmdvds  16649  expgcd  40371  lighneallem4b  45119
  Copyright terms: Public domain W3C validator