Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmfcoafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmfcoafv 43251
Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6750. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
dmfcoafv ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv
StepHypRef Expression
1 dmfco 6750 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹))
2 funres 6390 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
32anim2i 616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
43ancoms 459 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5 df-dfat 43195 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6 afvfundmfveq 43214 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
75, 6sylbir 236 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
84, 7syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
98eqcomd 2824 . . 3 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝐴) = (𝐺'''𝐴))
109eleq1d 2894 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
111, 10bitrd 280 1 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  dom cdm 5548  cres 5550  ccom 5552  Fun wfun 6342  cfv 6348   defAt wdfat 43192  '''cafv 43193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-res 5560  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-fv 6356  df-aiota 43162  df-dfat 43195  df-afv 43196
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator