Theorem dmfcoafv 46455

Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6981. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmfcoafv	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 6981	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹))
2		funres 6584	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
3	2	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
4	3	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5		df-dfat 46399	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6		afvfundmfveq 46418	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
7	5, 6	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
9	8	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺'''𝐴))
10	9	eleq1d 2812	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
11	1, 10	bitrd 279	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  dom cdm 5669   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537   defAt wdfat 46396  '''cafv 46397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-aiota 46365  df-dfat 46399  df-afv 46400

This theorem is referenced by: (None)