Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmfcoafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmfcoafv 46555
Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6994. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
dmfcoafv ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv
StepHypRef Expression
1 dmfco 6994 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹))
2 funres 6595 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
32anim2i 616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
43ancoms 458 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5 df-dfat 46499 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6 afvfundmfveq 46518 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
75, 6sylbir 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
84, 7syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
98eqcomd 2734 . . 3 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝐴) = (𝐺'''𝐴))
109eleq1d 2814 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
111, 10bitrd 279 1 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {csn 4629  dom cdm 5678  cres 5680  ccom 5682  Fun wfun 6542  cfv 6548   defAt wdfat 46496  '''cafv 46497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-res 5690  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-fv 6556  df-aiota 46465  df-dfat 46499  df-afv 46500
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator