Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmfcoafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmfcoafv 46455
Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6981. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
dmfcoafv ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv
StepHypRef Expression
1 dmfco 6981 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹))
2 funres 6584 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
32anim2i 616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
43ancoms 458 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5 df-dfat 46399 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6 afvfundmfveq 46418 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
75, 6sylbir 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
84, 7syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺𝐴))
98eqcomd 2732 . . 3 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝐴) = (𝐺'''𝐴))
109eleq1d 2812 . 2 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
111, 10bitrd 279 1 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623  dom cdm 5669  cres 5671  ccom 5673  Fun wfun 6531  cfv 6537   defAt wdfat 46396  '''cafv 46397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-aiota 46365  df-dfat 46399  df-afv 46400
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator