Theorem dmfcoafv 47801

Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6978. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmfcoafv	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 6978	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹))
2		funres 6579	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
3	2	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
4	3	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5		df-dfat 47745	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6		afvfundmfveq 47764	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
7	5, 6	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
9	8	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺'''𝐴))
10	9	eleq1d 2854	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
11	1, 10	bitrd 282	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  dom cdm 5662   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537   defAt wdfat 47742  '''cafv 47743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-aiota 47711  df-dfat 47745  df-afv 47746

This theorem is referenced by: (None)