Theorem dmfcoafv 45873

Description: Domains of a function composition, analogous to dmfco 6987. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmfcoafv	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfcoafv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 6987	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹))
2		funres 6590	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ {𝐴}))
3	2	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
4	3	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
5		df-dfat 45817	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})))
6		afvfundmfveq 45836	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝐴 → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
7	5, 6	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐴})) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺'''𝐴) = (𝐺‘𝐴))
9	8	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺'''𝐴))
10	9	eleq1d 2818	. 2 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺‘𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))
11	1, 10	bitrd 278	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐺'''𝐴) ∈ dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  dom cdm 5676   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543   defAt wdfat 45814  '''cafv 45815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-aiota 45783  df-dfat 45817  df-afv 45818

This theorem is referenced by: (None)