Theorem adjeu 32219

Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeu	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑇

Proof of Theorem adjeu

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 31329	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
2		fex2 7934	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
3	1, 1, 2	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
4		feq1 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
5		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
6	5	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
7	6	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
8	7	2ralbidv 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
9	4, 8	3anbi13d 1466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
10		3anass 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
11	9, 10	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
12	11	exbidv 1951	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
13		19.42v 1983	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
14	12, 13	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
15		dfadj2 32215	. . . . . . 7 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
16	15	dmeqi 5896	. . . . . 6 ⊢ dom adjℎ = dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
17		dmopab 5907	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))} = {𝑡 ∣ ∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
18	16, 17	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ dom adjℎ = {𝑡 ∣ ∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
19	14, 18	elab2g 3640	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
20	19	baibd 548	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
21	3, 20	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
22		df-reu 3370	. . 3 ⊢ (∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∃!𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
23	1, 1	elmap 8870	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
24	23	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
25	24	eubii 2613	. . 3 ⊢ (∃!𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
26		adjmo 32162	. . . 4 ⊢ ∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))
27		df-eu 2597	. . . 4 ⊢ (∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ∧ ∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
28	26, 27	mpbiran2 722	. . 3 ⊢ (∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
29	22, 25, 28	3bitri 300	. 2 ⊢ (∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	21, 29	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  ∃!weu 2596  {cab 2741  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367  Vcvv 3455  {copab 5174  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825   ℋchba 31249   ·_ih csp 31252  adj_ℎcado 31285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-hvsub 31301  df-adjh 32179

This theorem is referenced by:  adjbdln  32413