Theorem adjeu 31574

Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeu	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑇

Proof of Theorem adjeu

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 30684	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
2		fex2 7928	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
3	1, 1, 2	mp3an23 1452	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
4		feq1 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
5		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
6	5	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
7	6	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
8	7	2ralbidv 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
9	4, 8	3anbi13d 1437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
10		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
11	9, 10	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
12	11	exbidv 1923	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
13		19.42v 1956	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
14	12, 13	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
15		dfadj2 31570	. . . . . . 7 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
16	15	dmeqi 5904	. . . . . 6 ⊢ dom adjℎ = dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
17		dmopab 5915	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))} = {𝑡 ∣ ∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
18	16, 17	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ dom adjℎ = {𝑡 ∣ ∃𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
19	14, 18	elab2g 3670	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
20	19	baibd 539	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
21	3, 20	mpancom 685	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
22		df-reu 3376	. . 3 ⊢ (∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∃!𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
23	1, 1	elmap 8871	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
24	23	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
25	24	eubii 2578	. . 3 ⊢ (∃!𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
26		adjmo 31517	. . . 4 ⊢ ∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))
27		df-eu 2562	. . . 4 ⊢ (∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ∧ ∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
28	26, 27	mpbiran2 707	. . 3 ⊢ (∃!𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
29	22, 25, 28	3bitri 297	. 2 ⊢ (∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
30	21, 29	bitr4di 289	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃!𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  ∃*wmo 2531  ∃!weu 2561  {cab 2708  ∀wral 3060  ∃!wreu 3373  Vcvv 3473  {copab 5210  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826   ℋchba 30604   ·_ih csp 30607  adj_ℎcado 30640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-hilex 30684  ax-hfvadd 30685  ax-hvcom 30686  ax-hvass 30687  ax-hv0cl 30688  ax-hvaddid 30689  ax-hfvmul 30690  ax-hvmulid 30691  ax-hvdistr2 30694  ax-hvmul0 30695  ax-hfi 30764  ax-his1 30767  ax-his2 30768  ax-his3 30769  ax-his4 30770

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-hvsub 30656  df-adjh 31534

This theorem is referenced by:  adjbdln  31768