HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjeu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjeu 31142
Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeu (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘‡
Proof of Theorem adjeu
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30252 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 fex2 7924 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ„‹ โˆˆ V โˆง โ„‹ โˆˆ V) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
31, 1, 2mp3an23 1454 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
4 feq1 6699 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
5 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
65oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
76eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
872ralbidv 3219 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
94, 83anbi13d 1439 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
10 3anass 1096 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
119, 10bitrdi 287 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
1211exbidv 1925 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
13 19.42v 1958 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ข(๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1412, 13bitrdi 287 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
15 dfadj2 31138 . . . . . . 7 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1615dmeqi 5905 . . . . . 6 dom adjโ„Ž = dom {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
17 dmopab 5916 . . . . . 6 dom {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} = {๐‘ก โˆฃ โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1816, 17eqtri 2761 . . . . 5 dom adjโ„Ž = {๐‘ก โˆฃ โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1914, 18elab2g 3671 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
2019baibd 541 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ V โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
213, 20mpancom 687 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
22 df-reu 3378 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
231, 1elmap 8865 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†” ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹)
2423anbi1i 625 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2524eubii 2580 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
26 adjmo 31085 . . . 4 โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
27 df-eu 2564 . . . 4 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
2826, 27mpbiran2 709 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2922, 25, 283bitri 297 . 2 (โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3021, 29bitr4di 289 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ*wmo 2533  โˆƒ!weu 2563  {cab 2710  โˆ€wral 3062  โˆƒ!wreu 3375  Vcvv 3475  {copab 5211  dom cdm 5677  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  adjโ„Žcado 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224  df-adjh 31102
This theorem is referenced by:  adjbdln  31336
  Copyright terms: Public domain W3C validator