HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjeu 30717
Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeu (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem adjeu
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29827 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 fex2 7866 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ„‹ โˆˆ V โˆง โ„‹ โˆˆ V) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
31, 1, 2mp3an23 1453 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
4 feq1 6646 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
5 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
65oveq2d 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
76eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
872ralbidv 3210 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
94, 83anbi13d 1438 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
10 3anass 1095 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
119, 10bitrdi 286 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
1211exbidv 1924 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
13 19.42v 1957 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ข(๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1412, 13bitrdi 286 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
15 dfadj2 30713 . . . . . . 7 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1615dmeqi 5858 . . . . . 6 dom adjโ„Ž = dom {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
17 dmopab 5869 . . . . . 6 dom {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} = {๐‘ก โˆฃ โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1816, 17eqtri 2764 . . . . 5 dom adjโ„Ž = {๐‘ก โˆฃ โˆƒ๐‘ข(๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
1914, 18elab2g 3630 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
2019baibd 540 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ V โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
213, 20mpancom 686 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
22 df-reu 3352 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
231, 1elmap 8805 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†” ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹)
2423anbi1i 624 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2524eubii 2583 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
26 adjmo 30660 . . . 4 โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
27 df-eu 2567 . . . 4 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
2826, 27mpbiran2 708 . . 3 (โˆƒ!๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2922, 25, 283bitri 296 . 2 (โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3021, 29bitr4di 288 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆƒ*wmo 2536  โˆƒ!weu 2566  {cab 2713  โˆ€wral 3062  โˆƒ!wreu 3349  Vcvv 3443  {copab 5165  dom cdm 5631  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โ†‘m cmap 8761   โ„‹chba 29747   ยทih csp 29750  adjโ„Žcado 29783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-hvsub 29799  df-adjh 30677
This theorem is referenced by:  adjbdln  30911
  Copyright terms: Public domain W3C validator