MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftdm 15020
Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftdm (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
21shftfval 15019 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
32dmeqd 5896 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
4 19.42v 1949 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
5 ovex 7435 . . . . . . 7 (𝑥𝐴) ∈ V
65eldm 5891 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦)
76anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
84, 7bitr4i 278 . . . 4 (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹))
98abbii 2794 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)}
10 dmopab 5906 . . 3 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
11 df-rab 3425 . . 3 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)}
129, 10, 113eqtr4i 2762 . 2 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹}
133, 12eqtrdi 2780 1 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2701  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5139  {copab 5201  dom cdm 5667  (class class class)co 7402  cc 11105  cmin 11443   shift cshi 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-shft 15016
This theorem is referenced by:  shftfn  15022
  Copyright terms: Public domain W3C validator