Theorem shftdm 14782

Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 14781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3	2	dmeqd 5814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
4		19.42v 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
5		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 − 𝐴) ∈ V
6	5	eldm 5809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)
7	6	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
8	4, 7	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹))
9	8	abbii 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)}
10		dmopab 5824	. . 3 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
11		df-rab 3073	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)}
12	9, 10, 11	3eqtr4i 2776	. 2 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹}
13	3, 12	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  {copab 5136  dom cdm 5589  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   − cmin 11205   shift cshi 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-shft 14778

This theorem is referenced by:  shftfn  14784