MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftdm 15051
Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftdm (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
21shftfval 15050 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
32dmeqd 5908 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
4 19.42v 1950 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
5 ovex 7453 . . . . . . 7 (𝑥𝐴) ∈ V
65eldm 5903 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦)
76anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
84, 7bitr4i 278 . . . 4 (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹))
98abbii 2798 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)}
10 dmopab 5918 . . 3 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
11 df-rab 3430 . . 3 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)}
129, 10, 113eqtr4i 2766 . 2 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹}
133, 12eqtrdi 2784 1 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2705  {crab 3429  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  {copab 5210  dom cdm 5678  (class class class)co 7420  cc 11137  cmin 11475   shift cshi 15046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-shft 15047
This theorem is referenced by:  shftfn  15053
  Copyright terms: Public domain W3C validator