Theorem shftdm 14430

Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 14429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3	2	dmeqd 5774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
4		19.42v 1954	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
5		ovex 7189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 − 𝐴) ∈ V
6	5	eldm 5769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)
7	6	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
8	4, 7	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹))
9	8	abbii 2886	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)}
10		dmopab 5784	. . 3 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
11		df-rab 3147	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)}
12	9, 10, 11	3eqtr4i 2854	. 2 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹}
13	3, 12	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799  {crab 3142  Vcvv 3494   class class class wbr 5066  {copab 5128  dom cdm 5555  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   − cmin 10870   shift cshi 14425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-shft 14426

This theorem is referenced by:  shftfn  14432