Theorem eldmxrncnvepres2 38973

Description: Element of the domain of the range product with restricted converse epsilon relation. This identifies the domain of the pet 39503 span (𝑅 ⋉ (^◡ E ↾ 𝐴)): a 𝐵 belongs to the domain of the span exactly when 𝐵 is in 𝐴 and has at least one 𝑥 ∈ 𝐵 and 𝑦 with 𝐵𝑅𝑦. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmxrncnvepres2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eldmxrncnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres 38815	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
2		n0 4315	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)))
5		dmxrncnvepres 38970	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	5	eleq2i 2861	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ 𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}))
7		eldifsn 4758	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
9		3anan32 1111	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113   E cep 5561  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   ↾ cres 5664   ⋉ cxrn 38712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-oprab 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-xrn 38918

This theorem is referenced by:  eceldmqsxrncnvepres2  38975  dmqsblocks  39505