Theorem eldmxrncnvepres2 38620

Description: Element of the domain of the range product with restricted converse epsilon relation. This identifies the domain of the pet 39110 span (𝑅 ⋉ (^◡ E ↾ 𝐴)): a 𝐵 belongs to the domain of the span exactly when 𝐵 is in 𝐴 and has at least one 𝑥 ∈ 𝐵 and 𝑦 with 𝐵𝑅𝑦. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmxrncnvepres2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eldmxrncnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres 38470	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
2		n0 4305	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)))
5		dmxrncnvepres 38617	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	5	eleq2i 2828	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ 𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}))
7		eldifsn 4742	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
9		3anan32 1096	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   E cep 5523  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   ⋉ cxrn 38375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-oprab 7362  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-xrn 38565

This theorem is referenced by:  eceldmqsxrncnvepres2  38622  dmqsblocks  39112