Theorem eldmxrncnvepres2 39474

Description: Element of the domain of the range product with restricted converse epsilon relation. This identifies the domain of the pet 40004 span (𝑅 ⋉ (^◡ E ↾ 𝐴)): a 𝐵 belongs to the domain of the span exactly when 𝐵 is in 𝐴 and has at least one 𝑥 ∈ 𝐵 and 𝑦 with 𝐵𝑅𝑦. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmxrncnvepres2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem eldmxrncnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres 39316	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
2		n0 4299	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)))
5		dmxrncnvepres 39471	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	5	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ 𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}))
7		eldifsn 4744	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
9		3anan32 1113	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   E cep 5549  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   ↾ cres 5652   ⋉ cxrn 39213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fo 6547  df-fv 6549  df-oprab 7426  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-xrn 39419

This theorem is used by:  eceldmqsxrncnvepres2  39476  dmqsblocks  40006