![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > eigvecval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The set of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
eigvecval | โข (๐: โโถ โ โ (eigvecโ๐) = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 29983 | . . . 4 โข โ โ V | |
2 | difexg 5289 | . . . 4 โข ( โ โ V โ ( โ โ 0โ) โ V) | |
3 | 1, 2 | ax-mp 5 | . . 3 โข ( โ โ 0โ) โ V |
4 | 3 | rabex 5294 | . 2 โข {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)} โ V |
5 | fveq1 6846 | . . . . 5 โข (๐ก = ๐ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2739 | . . . 4 โข (๐ก = ๐ โ ((๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ))) |
7 | 6 | rexbidv 3176 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ) โ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ))) |
8 | 7 | rabbidv 3418 | . 2 โข (๐ก = ๐ โ {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)} = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
9 | df-eigvec 30837 | . 2 โข eigvec = (๐ก โ ( โ โm โ) โฆ {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) | |
10 | 4, 1, 1, 8, 9 | fvmptmap 8826 | 1 โข (๐: โโถ โ โ (eigvecโ๐) = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 {crab 3410 Vcvv 3448 โ cdif 3912 โถwf 6497 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 โchba 29903 ยทโ csm 29905 0โc0h 29919 eigveccei 29943 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-hilex 29983 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-map 8774 df-eigvec 30837 |
This theorem is referenced by: eleigvec 30941 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |