![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > eigvecval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The set of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
eigvecval | โข (๐: โโถ โ โ (eigvecโ๐) = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30853 | . . . 4 โข โ โ V | |
2 | difexg 5324 | . . . 4 โข ( โ โ V โ ( โ โ 0โ) โ V) | |
3 | 1, 2 | ax-mp 5 | . . 3 โข ( โ โ 0โ) โ V |
4 | 3 | rabex 5329 | . 2 โข {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)} โ V |
5 | fveq1 6891 | . . . . 5 โข (๐ก = ๐ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2727 | . . . 4 โข (๐ก = ๐ โ ((๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ))) |
7 | 6 | rexbidv 3169 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ) โ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ))) |
8 | 7 | rabbidv 3427 | . 2 โข (๐ก = ๐ โ {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)} = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
9 | df-eigvec 31707 | . 2 โข eigvec = (๐ก โ ( โ โm โ) โฆ {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐กโ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) | |
10 | 4, 1, 1, 8, 9 | fvmptmap 8898 | 1 โข (๐: โโถ โ โ (eigvecโ๐) = {๐ฅ โ ( โ โ 0โ) โฃ โ๐ฆ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐ฆ ยทโ ๐ฅ)}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3060 {crab 3419 Vcvv 3463 โ cdif 3936 โถwf 6539 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โcc 11136 โchba 30773 ยทโ csm 30775 0โc0h 30789 eigveccei 30813 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-hilex 30853 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-fv 6551 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-map 8845 df-eigvec 31707 |
This theorem is referenced by: eleigvec 31811 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |