HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigvecval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigvecval 31750
Description: The set of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigvecval (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (eigvecโ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem eigvecval
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30853 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 difexg 5324 . . . 4 ( โ„‹ โˆˆ V โ†’ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆˆ V)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆˆ V
43rabex 5329 . 2 {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)} โˆˆ V
5 fveq1 6891 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
65eqeq1d 2727 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
76rexbidv 3169 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
87rabbidv 3427 . 2 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)} = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
9 df-eigvec 31707 . 2 eigvec = (๐‘ก โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
104, 1, 1, 8, 9fvmptmap 8898 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (eigvecโ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3936  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136   โ„‹chba 30773   ยทโ„Ž csm 30775  0โ„‹c0h 30789  eigveccei 30813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-hilex 30853
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845  df-eigvec 31707
This theorem is referenced by:  eleigvec  31811
  Copyright terms: Public domain W3C validator