HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigvecval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigvecval 30880
Description: The set of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigvecval (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (eigvecโ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem eigvecval
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29983 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 difexg 5289 . . . 4 ( โ„‹ โˆˆ V โ†’ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆˆ V)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆˆ V
43rabex 5294 . 2 {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)} โˆˆ V
5 fveq1 6846 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
65eqeq1d 2739 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
76rexbidv 3176 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
87rabbidv 3418 . 2 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)} = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
9 df-eigvec 30837 . 2 eigvec = (๐‘ก โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
104, 1, 1, 8, 9fvmptmap 8826 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (eigvecโ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ( โ„‹ โˆ– 0โ„‹) โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทโ„Ž ๐‘ฅ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   โˆ– cdif 3912  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905  0โ„‹c0h 29919  eigveccei 29943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-hilex 29983
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-eigvec 30837
This theorem is referenced by:  eleigvec  30941
  Copyright terms: Public domain W3C validator