Theorem fvmptmap 8805

Description: Special case of fvmpt 6929 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvmptmap.2	⊢ 𝐷 ∈ V
fvmptmap.3	⊢ 𝑅 ∈ V
fvmptmap.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptmap.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		fvmptmap.2	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	1, 2	elmap 8795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↔ 𝐴:𝐷⟶𝑅)
4		fvmptmap.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
5		fvmptmap.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↦ 𝐵)
6		fvmptmap.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	3, 7	sylbir 235	1 ⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  itg2val  25654  nmopval  31831  nmfnval  31851  eigvecval  31871  eigvalfval  31872  specval  31873