Theorem fvmptmap 8732

Description: Special case of fvmpt 6925 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvmptmap.2	⊢ 𝐷 ∈ V
fvmptmap.3	⊢ 𝑅 ∈ V
fvmptmap.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptmap.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		fvmptmap.2	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	1, 2	elmap 8722	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↔ 𝐴:𝐷⟶𝑅)
4		fvmptmap.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
5		fvmptmap.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) ↦ 𝐵)
6		fvmptmap.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝐷) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	3, 7	sylbir 234	1 ⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6469  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ↑_m cmap 8678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-map 8680

This theorem is referenced by:  itg2val  24991  nmopval  30447  nmfnval  30467  eigvecval  30487  eigvalfval  30488  specval  30489