Theorem eigvalfval 31988

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalfval	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem eigvalfval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6845	. . 3 ⊢ (eigvec‘𝑇) ∈ V
2	1	mptex 7169	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) ∈ V
3		ax-hilex 31090	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (eigvec‘𝑡) = (eigvec‘𝑇))
5		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
6	5	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))
7	6	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)))
8	4, 7	mpteq12dv 5173	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
9		df-eigval 31945	. 2 ⊢ eigval = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 8820	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   / cdiv 11796  2c2 12225  ↑cexp 14012   ℋchba 31010   ·_ih csp 31013  norm_ℎcno 31014  eigveccei 31050  eigvalcel 31051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-hilex 31090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8766  df-eigval 31945

This theorem is referenced by:  eigvalval  32051