Theorem eigvalfval 31418

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalfval	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem eigvalfval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6904	. . 3 ⊢ (eigvec‘𝑇) ∈ V
2	1	mptex 7227	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) ∈ V
3		ax-hilex 30520	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (eigvec‘𝑡) = (eigvec‘𝑇))
5		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
6	5	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))
7	6	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)))
8	4, 7	mpteq12dv 5239	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
9		df-eigval 31375	. 2 ⊢ eigval = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 8879	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   / cdiv 11876  2c2 12272  ↑cexp 14032   ℋchba 30440   ·_ih csp 30443  norm_ℎcno 30444  eigveccei 30480  eigvalcel 30481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-hilex 30520

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8826  df-eigval 31375

This theorem is referenced by:  eigvalval  31481