Theorem eigvalfval 32102

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalfval	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem eigvalfval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6882	. . 3 ⊢ (eigvec‘𝑇) ∈ V
2	1	mptex 7209	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) ∈ V
3		ax-hilex 31204	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		fveq2 6869	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (eigvec‘𝑡) = (eigvec‘𝑇))
5		fveq1 6868	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
6	5	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))
7	6	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)))
8	4, 7	mpteq12dv 5189	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
9		df-eigval 32059	. 2 ⊢ eigval = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 8865	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   / cdiv 11846  2c2 12274  ↑cexp 14076   ℋchba 31124   ·_ih csp 31127  norm_ℎcno 31128  eigveccei 31164  eigvalcel 31165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-hilex 31204

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-eigval 32059

This theorem is referenced by:  eigvalval  32165