Theorem eigvalfval 31972

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalfval	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem eigvalfval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6847	. . 3 ⊢ (eigvec‘𝑇) ∈ V
2	1	mptex 7169	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) ∈ V
3		ax-hilex 31074	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (eigvec‘𝑡) = (eigvec‘𝑇))
5		fveq1 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
6	5	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))
7	6	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)))
8	4, 7	mpteq12dv 5185	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
9		df-eigval 31929	. 2 ⊢ eigval = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 8819	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   / cdiv 11794  2c2 12200  ↑cexp 13984   ℋchba 30994   ·_ih csp 30997  norm_ℎcno 30998  eigveccei 31034  eigvalcel 31035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-hilex 31074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-eigval 31929

This theorem is referenced by:  eigvalval  32035