Theorem eigvalfval 31917

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalfval	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem eigvalfval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6918	. . 3 ⊢ (eigvec‘𝑇) ∈ V
2	1	mptex 7244	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) ∈ V
3		ax-hilex 31019	. 2 ⊢ ℋ ∈ V
4		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (eigvec‘𝑡) = (eigvec‘𝑇))
5		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
6	5	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥))
7	6	oveq1d 7447	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2)))
8	4, 7	mpteq12dv 5232	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
9		df-eigval 31874	. 2 ⊢ eigval = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑡) ↦ (((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 8922	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (eigval‘𝑇) = (𝑥 ∈ (eigvec‘𝑇) ↦ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) / ((normℎ‘𝑥)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   / cdiv 11921  2c2 12322  ↑cexp 14103   ℋchba 30939   ·_ih csp 30942  norm_ℎcno 30943  eigveccei 30979  eigvalcel 30980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-hilex 31019

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-eigval 31874

This theorem is referenced by:  eigvalval  31980