Theorem elbigof 47142

Description: A function of order G(x) is a function. (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigof	⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem elbigof

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 47139	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		reex 11197	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	elpm2 8864	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4	3	simplbi 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
5	4	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑_pm cpm 8817  ℝcr 11105   · cmul 11111  +∞cpnf 11241   ≤ cle 11245  [,)cico 13322  Οcbigo 47135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8819  df-bigo 47136

This theorem is referenced by: (None)