Theorem elbigof 49773

Description: A function of order G(x) is a function. (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigof	⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem elbigof

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 49770	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		reex 11296	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	elpm2 8907	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4	3	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↑_pm cpm 8853  ℝcr 11204   · cmul 11210  +∞cpnf 11345   ≤ cle 11349  [,)cico 13483  Οcbigo 49766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-pm 8855  df-bigo 49767

This theorem is used by: (None)