Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigof 44448
Description: A function of order G(x) is a function. (Contributed by AV, 18-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigof (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem elbigof
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elbigo 44445 . 2 (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))))
2 reex 10620 . . . . 5 ℝ ∈ V
32, 2elpm2 8431 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
43simplbi 498 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
543ad2ant1 1127 . 2 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
61, 5sylbi 218 1 (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  cin 3938  wss 3939   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  pm cpm 8400  cr 10528   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  cle 10668  [,)cico 12733  Οcbigo 44441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-pm 8402  df-bigo 44442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator