Theorem elbigo2r 49483

Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2r	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
2	1	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
3	2	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
4		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) = (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))
5	4	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))
6	5	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
7	6	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
8	3, 7	rspc2ev 3589	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
9	8	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
10		elbigo2 49482	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
11	10	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
12	9, 11	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   · cmul 11129   ≤ cle 11268  Οcbigo 49477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ico 13404  df-bigo 49478

This theorem is used by: (None)