Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigo2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigo2r 44604
Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigo2r (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 344 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
32ralbidv 3195 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
4 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺𝑥)) = (𝑀 · (𝐺𝑥)))
54breq2d 5069 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))
65imbi2d 343 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))))
76ralbidv 3195 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))))
83, 7rspc2ev 3633 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))))
983ad2ant3 1130 . 2 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))))
10 elbigo2 44603 . . 3 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
11103adant3 1127 . 2 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
129, 11mpbird 259 1 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  wss 3934   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528   · cmul 10534  cle 10668  Οcbigo 44598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ico 12736  df-bigo 44599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator