Theorem elbigo2r 49029

Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2r	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
2	1	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
3	2	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
4		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) = (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))
5	4	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
7	6	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
8	3, 7	rspc2ev 3577	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
9	8	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
10		elbigo2 49028	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
11	10	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
12	9, 11	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   · cmul 11043   ≤ cle 11180  Οcbigo 49023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ico 13304  df-bigo 49024

This theorem is referenced by: (None)