Theorem elbigo2r 44967

Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2r	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
2	1	imbi1d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
3	2	ralbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
4		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) = (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))
5	4	breq2d 5042	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))
6	5	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
7	6	ralbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
8	3, 7	rspc2ev 3583	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
9	8	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
10		elbigo2 44966	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
11	10	3adant3 1129	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
12	9, 11	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   · cmul 10531   ≤ cle 10665  Οcbigo 44961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732  df-bigo 44962

This theorem is referenced by: (None)