Theorem elbigodm 49589

Description: The domain of a function of order G(x) is a subset of the reals. (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigodm	⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem elbigodm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 49585	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		reex 11263	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	elpm2 8880	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4	3	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_pm cpm 8826  ℝcr 11171   · cmul 11177  +∞cpnf 11312   ≤ cle 11316  [,)cico 13448  Οcbigo 49581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pm 8828  df-bigo 49582

This theorem is used by: (None)