Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigodm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigodm 46319
Description: The domain of a function of order G(x) is a subset of the reals. (Contributed by AV, 18-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigodm (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)

Proof of Theorem elbigodm
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elbigo 46315 . 2 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
2 reex 11064 . . . . 5 ℝ ∈ V
32, 2elpm2 8734 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
43simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
543ad2ant1 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
61, 5sylbi 216 1 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3897   βŠ† wss 3898   class class class wbr 5093  dom cdm 5621  βŸΆwf 6476  β€˜cfv 6480  (class class class)co 7338   ↑pm cpm 8688  β„cr 10972   Β· cmul 10978  +∞cpnf 11108   ≀ cle 11112  [,)cico 13183  ΞŸcbigo 46311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-fv 6488  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-pm 8690  df-bigo 46312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator