Theorem elbigodm 49186

Description: The domain of a function of order G(x) is a subset of the reals. (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigodm	⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem elbigodm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 49182	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		reex 11179	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	elpm2 8860	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4	3	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  ℝcr 11087   · cmul 11093  +∞cpnf 11228   ≤ cle 11232  [,)cico 13365  Οcbigo 49178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-pm 8815  df-bigo 49179

This theorem is referenced by: (None)