Theorem elbigodm 48481

Description: The domain of a function of order G(x) is a subset of the reals. (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigodm	⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem elbigodm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 48477	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		reex 11247	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	elpm2 8915	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_pm cpm 8868  ℝcr 11155   · cmul 11161  +∞cpnf 11293   ≤ cle 11297  [,)cico 13390  Οcbigo 48473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-pm 8870  df-bigo 48474

This theorem is referenced by: (None)