Theorem elfilss 23814

Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 528	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
3		filfbas 23786	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		elfg 23809	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
7		fgfil 23813	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
8	7	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
10	2, 6, 9	3bitr2rd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  fBascfbas 21303  filGencfg 21304  Filcfil 23783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-fil 23784

This theorem is referenced by:  trfil3  23826