Theorem elfilss 23027

Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 529	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
3		filfbas 22999	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		elfg 23022	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
7		fgfil 23026	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
8	7	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
10	2, 6, 9	3bitr2rd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  fBascfbas 20585  filGencfg 20586  Filcfil 22996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-fil 22997

This theorem is referenced by:  trfil3  23039