Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfilss 22403
 Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfilss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss
StepHypRef Expression
1 ibar 529 . . 3 (𝐴𝑋 → (∃𝑡𝐹 𝑡𝐴 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
21adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑡𝐹 𝑡𝐴 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
3 filfbas 22375 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 elfg 22398 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
65adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
7 fgfil 22402 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
87eleq2d 2903 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴𝐹))
98adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴𝐹))
102, 6, 93bitr2rd 309 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3144   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  fBascfbas 20452  filGencfg 20453  Filcfil 22372 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-fil 22373 This theorem is referenced by:  trfil3  22415
 Copyright terms: Public domain W3C validator