Theorem elfilss 24222

Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 538	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
3		filfbas 24194	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		elfg 24217	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
7		fgfil 24221	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
8	7	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
10	2, 6, 9	3bitr2rd 311	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  fBascfbas 21693  filGencfg 21694  Filcfil 24191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-fil 24192

This theorem is used by:  trfil3  24234