Theorem elfilss 23761

Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 528	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
3		filfbas 23733	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		elfg 23756	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
7		fgfil 23760	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
8	7	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
10	2, 6, 9	3bitr2rd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  fBascfbas 21249  filGencfg 21250  Filcfil 23730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-fil 23731

This theorem is referenced by:  trfil3  23773