Theorem elfilss 23800

Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 527	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
3		filfbas 23772	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		elfg 23795	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴)))
7		fgfil 23799	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
8	7	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
9	8	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
10	2, 6, 9	3bitr2rd 307	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐹 𝑡 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  fBascfbas 21274  filGencfg 21275  Filcfil 23769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-fil 23770

This theorem is referenced by:  trfil3  23812