Theorem trfil3 24024

Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfil3	⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfil2 24023	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
2		dfral2 3114	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3		nne 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) = ∅)
4		filelss 23988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → 𝑣 ⊆ 𝑌)
5		reldisj 4412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑌 → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
7	3, 6	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
8	7	rexbidva 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
10		difssd 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌)
11		elfilss 24012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
12	10, 11	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
13	9, 12	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
14	13	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
15	2, 14	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
16	1, 15	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17472  Filcfil 23981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-rest 17474  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-fil 23982

This theorem is referenced by:  fgtr  24026  trufil  24046  flimrest  24119  fclsrest  24160  cfilres  25434  relcmpcmet  25456