Theorem trfil3 23836

Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfil3	⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfil2 23835	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
2		dfral2 3088	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3		nne 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) = ∅)
4		filelss 23800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → 𝑣 ⊆ 𝑌)
5		reldisj 4406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑌 → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
7	3, 6	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
8	7	rexbidva 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
10		difssd 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌)
11		elfilss 23824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
12	10, 11	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
13	9, 12	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
14	13	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
15	2, 14	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
16	1, 15	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17344  Filcfil 23793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-rest 17346  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-fil 23794

This theorem is referenced by:  fgtr  23838  trufil  23858  flimrest  23931  fclsrest  23972  cfilres  25256  relcmpcmet  25278