MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil3 23912
Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 23911 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
2 dfral2 3097 . . 3 (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅)
3 nne 2942 . . . . . . . 8 (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝐴) = ∅)
4 filelss 23876 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → 𝑣𝑌)
5 reldisj 4459 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑌 → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
73, 6bitrid 283 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
87rexbidva 3175 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
10 difssd 4147 . . . . . 6 (𝐴𝑌 → (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌)
11 elfilss 23900 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
1210, 11sylan2 593 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
139, 12bitr4d 282 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
1413notbid 318 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
152, 14bitrid 283 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
161, 15bitrd 279 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Filcfil 23869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-rest 17469  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fil 23870
This theorem is referenced by:  fgtr  23914  trufil  23934  flimrest  24007  fclsrest  24048  cfilres  25344  relcmpcmet  25366
  Copyright terms: Public domain W3C validator