MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil3 22642
Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 22641 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
2 dfral2 3151 . . 3 (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅)
3 nne 2939 . . . . . . . 8 (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝐴) = ∅)
4 filelss 22606 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → 𝑣𝑌)
5 reldisj 4342 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑌 → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
73, 6syl5bb 286 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
87rexbidva 3207 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
98adantr 484 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
10 difssd 4024 . . . . . 6 (𝐴𝑌 → (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌)
11 elfilss 22630 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
1210, 11sylan2 596 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
139, 12bitr4d 285 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
1413notbid 321 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
152, 14syl5bb 286 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
161, 15bitrd 282 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  cdif 3841  cin 3843  wss 3844  c0 4212  cfv 6340  (class class class)co 7173  t crest 16800  Filcfil 22599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-rest 16802  df-fbas 20217  df-fg 20218  df-fil 22600
This theorem is referenced by:  fgtr  22644  trufil  22664  flimrest  22737  fclsrest  22778  cfilres  24051  relcmpcmet  24073
  Copyright terms: Public domain W3C validator