Theorem trfil3 23950

Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfil3	⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfil2 23949	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
2		dfral2 3115	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3		nne 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) = ∅)
4		filelss 23914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → 𝑣 ⊆ 𝑌)
5		reldisj 4409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑌 → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → ((𝑣 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
7	3, 6	bitrid 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣 ∈ 𝐿) → (¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
8	7	rexbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
10		difssd 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌)
11		elfilss 23938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
12	10, 11	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌 ∖ 𝐴)))
13	9, 12	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
14	13	notbid 320	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∃𝑣 ∈ 𝐿 ¬ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
15	2, 14	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝐿 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
16	1, 15	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↾_t crest 17451  Filcfil 23907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-rest 17453  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-fil 23908

This theorem is referenced by:  fgtr  23952  trufil  23972  flimrest  24045  fclsrest  24086  cfilres  25360  relcmpcmet  25382