Theorem filfinnfr 24034

Description: No filter containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfinnfr	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem filfinnfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 24005	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbfinnfr 23998	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ∩ cint 4912  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  fBascfbas 21510  Filcfil 24002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fbas 21519  df-fil 24003

This theorem is referenced by:  uffinfix  24084  cfinufil  24085