Theorem elfg 23919

Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfg	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fgval 23918	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2	1	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3		pweq 4566	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
4	3	ineq2d 4170	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
5	4	neeq1d 3015	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
6	5	elrab 3649	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7		elfvdm 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8		elpw2g 5286	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
10		elin 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11		velpw 4557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	anbi2i 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
13	10, 12	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
14	13	exbii 1867	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
15		n0 4303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16		df-rex 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
17	14, 15, 16	3bitr4i 305	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴))
19	9, 18	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
20	6, 19	bitrid 285	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
21	2, 20	bitrd 281	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  dom cdm 5643  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  fBascfbas 21400  filGencfg 21401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-fg 21410

This theorem is referenced by:  ssfg  23920  fgss  23921  fgss2  23922  fgfil  23923  elfilss  23924  fgcl  23926  fgabs  23927  fgtr  23938  trfg  23939  uffix  23969  elfm  23995  elfm2  23996  elfm3  23998  fbflim  24024  flffbas  24043  fclsbas  24069  isucn2  24326  metust  24606  cfilucfil  24607  metuel  24612  fgcfil  25321  fgmin  36691  filnetlem4  36702