MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfg 23375
Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfg (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fgval 23374 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
21eleq2d 2820 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3 pweq 4617 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
43ineq2d 4213 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
54neeq1d 3001 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
65elrab 3684 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7 elfvdm 6929 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8 elpw2g 5345 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
10 elin 3965 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11 velpw 4608 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1211anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1310, 12bitri 275 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1413exbii 1851 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
15 n0 4347 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16 df-rex 3072 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
1714, 15, 163bitr4i 303 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
1817a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴))
199, 18anbi12d 632 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
206, 19bitrid 283 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
212, 20bitrd 279 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  {crab 3433  cin 3948  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5677  cfv 6544  (class class class)co 7409  fBascfbas 20932  filGencfg 20933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-fg 20942
This theorem is referenced by:  ssfg  23376  fgss  23377  fgss2  23378  fgfil  23379  elfilss  23380  fgcl  23382  fgabs  23383  fgtr  23394  trfg  23395  uffix  23425  elfm  23451  elfm2  23452  elfm3  23454  fbflim  23480  flffbas  23499  fclsbas  23525  isucn2  23784  metust  24067  cfilucfil  24068  metuel  24073  fgcfil  24788  fgmin  35255  filnetlem4  35266
  Copyright terms: Public domain W3C validator