Theorem elfg 24196

Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfg	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fgval 24195	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2	1	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3		pweq 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
4	3	ineq2d 4117	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
5	4	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
6	5	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7		elfvdm 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8		elpw2g 5294	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
10		elin 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11		velpw 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
13	10, 12	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
14	13	exbii 1880	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
15		n0 4299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16		df-rex 3087	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
17	14, 15, 16	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴))
19	9, 18	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
20	6, 19	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
21	2, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  fBascfbas 21672  filGencfg 21673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-fg 21682

This theorem is used by:  ssfg  24197  fgss  24198  fgss2  24199  fgfil  24200  elfilss  24201  fgcl  24203  fgabs  24204  fgtr  24215  trfg  24216  uffix  24246  elfm  24272  elfm2  24273  elfm3  24275  fbflim  24301  flffbas  24320  fclsbas  24346  isucn2  24603  metust  24883  cfilucfil  24884  metuel  24889  fgcfil  25598  fgmin  37251  filnetlem4  37262