MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfg 23879
Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfg (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fgval 23878 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
21eleq2d 2827 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3 pweq 4614 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
43ineq2d 4220 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
54neeq1d 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
65elrab 3692 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7 elfvdm 6943 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8 elpw2g 5333 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
10 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11 velpw 4605 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1211anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1310, 12bitri 275 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1413exbii 1848 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
15 n0 4353 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16 df-rex 3071 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
1714, 15, 163bitr4i 303 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
1817a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴))
199, 18anbi12d 632 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
206, 19bitrid 283 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
212, 20bitrd 279 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  fBascfbas 21352  filGencfg 21353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fg 21362
This theorem is referenced by:  ssfg  23880  fgss  23881  fgss2  23882  fgfil  23883  elfilss  23884  fgcl  23886  fgabs  23887  fgtr  23898  trfg  23899  uffix  23929  elfm  23955  elfm2  23956  elfm3  23958  fbflim  23984  flffbas  24003  fclsbas  24029  isucn2  24288  metust  24571  cfilucfil  24572  metuel  24577  fgcfil  25305  fgmin  36371  filnetlem4  36382
  Copyright terms: Public domain W3C validator