MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filfbas 22432
Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filfbas (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 22431 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
21simplbi 501 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  cin 3909  c0 4266  𝒫 cpw 4512  cfv 6328  fBascfbas 20509  Filcfil 22429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-fil 22430
This theorem is referenced by:  0nelfil  22433  filsspw  22435  filelss  22436  filin  22438  filtop  22439  snfbas  22450  fgfil  22459  elfilss  22460  filfinnfr  22461  fgabs  22463  filconn  22467  fgtr  22474  trfg  22475  ufilb  22490  ufilmax  22491  isufil2  22492  ssufl  22502  ufileu  22503  filufint  22504  ufilen  22514  fmfg  22533  fmufil  22543  fmid  22544  fmco  22545  ufldom  22546  hausflim  22565  flimrest  22567  flimclslem  22568  flfnei  22575  isflf  22577  flfcnp  22588  fclsrest  22608  fclsfnflim  22611  flimfnfcls  22612  isfcf  22618  cnpfcfi  22624  cnpfcf  22625  cnextcn  22651  cfilufg  22878  neipcfilu  22881  cnextucn  22888  ucnextcn  22889  cfilresi  23878  cfilres  23879  cmetss  23899  relcmpcmet  23901  cfilucfil3  23903  minveclem4a  24013  filnetlem4  33737
  Copyright terms: Public domain W3C validator