Theorem filfbas 23735

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23734	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6511  fBascfbas 21252  Filcfil 23732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-fil 23733

This theorem is referenced by:  0nelfil  23736  filsspw  23738  filelss  23739  filin  23741  filtop  23742  snfbas  23753  fgfil  23762  elfilss  23763  filfinnfr  23764  fgabs  23766  filconn  23770  fgtr  23777  trfg  23778  ufilb  23793  ufilmax  23794  isufil2  23795  ssufl  23805  ufileu  23806  filufint  23807  ufilen  23817  fmfg  23836  fmufil  23846  fmid  23847  fmco  23848  ufldom  23849  hausflim  23868  flimrest  23870  flimclslem  23871  flfnei  23878  isflf  23880  flfcnp  23891  fclsrest  23911  fclsfnflim  23914  flimfnfcls  23915  isfcf  23921  cnpfcfi  23927  cnpfcf  23928  cnextcn  23954  cfilufg  24180  neipcfilu  24183  cnextucn  24190  ucnextcn  24191  cfilresi  25195  cfilres  25196  cmetss  25216  relcmpcmet  25218  cfilucfil3  25220  minveclem4a  25330  filnetlem4  36369