Theorem filfbas 23813

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23812	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6498  fBascfbas 21340  Filcfil 23810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-fil 23811

This theorem is referenced by:  0nelfil  23814  filsspw  23816  filelss  23817  filin  23819  filtop  23820  snfbas  23831  fgfil  23840  elfilss  23841  filfinnfr  23842  fgabs  23844  filconn  23848  fgtr  23855  trfg  23856  ufilb  23871  ufilmax  23872  isufil2  23873  ssufl  23883  ufileu  23884  filufint  23885  ufilen  23895  fmfg  23914  fmufil  23924  fmid  23925  fmco  23926  ufldom  23927  hausflim  23946  flimrest  23948  flimclslem  23949  flfnei  23956  isflf  23958  flfcnp  23969  fclsrest  23989  fclsfnflim  23992  flimfnfcls  23993  isfcf  23999  cnpfcfi  24005  cnpfcf  24006  cnextcn  24032  cfilufg  24257  neipcfilu  24260  cnextucn  24267  ucnextcn  24268  cfilresi  25262  cfilres  25263  cmetss  25283  relcmpcmet  25285  cfilucfil3  25287  minveclem4a  25397  filnetlem4  36563