Theorem filfbas 24176

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24175	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6543  fBascfbas 21675  Filcfil 24173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fil 24174

This theorem is used by:  0nelfil  24177  filsspw  24179  filelss  24180  filin  24182  filtop  24183  snfbas  24194  fgfil  24203  elfilss  24204  filfinnfr  24205  fgabs  24207  filconn  24211  fgtr  24218  trfg  24219  ufilb  24234  ufilmax  24235  isufil2  24236  ssufl  24246  ufileu  24247  filufint  24248  ufilen  24258  fmfg  24277  fmufil  24287  fmid  24288  fmco  24289  ufldom  24290  hausflim  24309  flimrest  24311  flimclslem  24312  flfnei  24319  isflf  24321  flfcnp  24332  fclsrest  24352  fclsfnflim  24355  flimfnfcls  24356  isfcf  24362  cnpfcfi  24368  cnpfcf  24369  cnextcn  24395  cfilufg  24620  neipcfilu  24623  cnextucn  24630  ucnextcn  24631  cfilresi  25625  cfilres  25626  cmetss  25646  relcmpcmet  25648  cfilucfil3  25650  minveclem4a  25760  filnetlem4  37265