Theorem filfbas 23872

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23871	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ‘cfv 6563  fBascfbas 21370  Filcfil 23869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fil 23870

This theorem is referenced by:  0nelfil  23873  filsspw  23875  filelss  23876  filin  23878  filtop  23879  snfbas  23890  fgfil  23899  elfilss  23900  filfinnfr  23901  fgabs  23903  filconn  23907  fgtr  23914  trfg  23915  ufilb  23930  ufilmax  23931  isufil2  23932  ssufl  23942  ufileu  23943  filufint  23944  ufilen  23954  fmfg  23973  fmufil  23983  fmid  23984  fmco  23985  ufldom  23986  hausflim  24005  flimrest  24007  flimclslem  24008  flfnei  24015  isflf  24017  flfcnp  24028  fclsrest  24048  fclsfnflim  24051  flimfnfcls  24052  isfcf  24058  cnpfcfi  24064  cnpfcf  24065  cnextcn  24091  cfilufg  24318  neipcfilu  24321  cnextucn  24328  ucnextcn  24329  cfilresi  25343  cfilres  25344  cmetss  25364  relcmpcmet  25366  cfilucfil3  25368  minveclem4a  25478  filnetlem4  36364