Theorem filfbas 24074

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24073	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ‘cfv 6533  fBascfbas 21573  Filcfil 24071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-fil 24072

This theorem is used by:  0nelfil  24075  filsspw  24077  filelss  24078  filin  24080  filtop  24081  snfbas  24092  fgfil  24101  elfilss  24102  filfinnfr  24103  fgabs  24105  filconn  24109  fgtr  24116  trfg  24117  ufilb  24132  ufilmax  24133  isufil2  24134  ssufl  24144  ufileu  24145  filufint  24146  ufilen  24156  fmfg  24175  fmufil  24185  fmid  24186  fmco  24187  ufldom  24188  hausflim  24207  flimrest  24209  flimclslem  24210  flfnei  24217  isflf  24219  flfcnp  24230  fclsrest  24250  fclsfnflim  24253  flimfnfcls  24254  isfcf  24260  cnpfcfi  24266  cnpfcf  24267  cnextcn  24293  cfilufg  24518  neipcfilu  24521  cnextucn  24528  ucnextcn  24529  cfilresi  25523  cfilres  25524  cmetss  25544  relcmpcmet  25546  cfilucfil3  25548  minveclem4a  25658  filnetlem4  37000