Theorem filfbas 22453

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 22452	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ‘cfv 6324  fBascfbas 20079  Filcfil 22450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-fil 22451

This theorem is referenced by:  0nelfil  22454  filsspw  22456  filelss  22457  filin  22459  filtop  22460  snfbas  22471  fgfil  22480  elfilss  22481  filfinnfr  22482  fgabs  22484  filconn  22488  fgtr  22495  trfg  22496  ufilb  22511  ufilmax  22512  isufil2  22513  ssufl  22523  ufileu  22524  filufint  22525  ufilen  22535  fmfg  22554  fmufil  22564  fmid  22565  fmco  22566  ufldom  22567  hausflim  22586  flimrest  22588  flimclslem  22589  flfnei  22596  isflf  22598  flfcnp  22609  fclsrest  22629  fclsfnflim  22632  flimfnfcls  22633  isfcf  22639  cnpfcfi  22645  cnpfcf  22646  cnextcn  22672  cfilufg  22899  neipcfilu  22902  cnextucn  22909  ucnextcn  22910  cfilresi  23899  cfilres  23900  cmetss  23920  relcmpcmet  23922  cfilucfil3  23924  minveclem4a  24034  filnetlem4  33842