Theorem filfbas 23048

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23047	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ∩ cin 3891  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  ‘cfv 6458  fBascfbas 20634  Filcfil 23045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-fil 23046

This theorem is referenced by:  0nelfil  23049  filsspw  23051  filelss  23052  filin  23054  filtop  23055  snfbas  23066  fgfil  23075  elfilss  23076  filfinnfr  23077  fgabs  23079  filconn  23083  fgtr  23090  trfg  23091  ufilb  23106  ufilmax  23107  isufil2  23108  ssufl  23118  ufileu  23119  filufint  23120  ufilen  23130  fmfg  23149  fmufil  23159  fmid  23160  fmco  23161  ufldom  23162  hausflim  23181  flimrest  23183  flimclslem  23184  flfnei  23191  isflf  23193  flfcnp  23204  fclsrest  23224  fclsfnflim  23227  flimfnfcls  23228  isfcf  23234  cnpfcfi  23240  cnpfcf  23241  cnextcn  23267  cfilufg  23494  neipcfilu  23497  cnextucn  23504  ucnextcn  23505  cfilresi  24508  cfilres  24509  cmetss  24529  relcmpcmet  24531  cfilucfil3  24533  minveclem4a  24643  filnetlem4  34619