Theorem filfbas 23572

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23571	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  ‘cfv 6542  fBascfbas 21132  Filcfil 23569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-fil 23570

This theorem is referenced by:  0nelfil  23573  filsspw  23575  filelss  23576  filin  23578  filtop  23579  snfbas  23590  fgfil  23599  elfilss  23600  filfinnfr  23601  fgabs  23603  filconn  23607  fgtr  23614  trfg  23615  ufilb  23630  ufilmax  23631  isufil2  23632  ssufl  23642  ufileu  23643  filufint  23644  ufilen  23654  fmfg  23673  fmufil  23683  fmid  23684  fmco  23685  ufldom  23686  hausflim  23705  flimrest  23707  flimclslem  23708  flfnei  23715  isflf  23717  flfcnp  23728  fclsrest  23748  fclsfnflim  23751  flimfnfcls  23752  isfcf  23758  cnpfcfi  23764  cnpfcf  23765  cnextcn  23791  cfilufg  24018  neipcfilu  24021  cnextucn  24028  ucnextcn  24029  cfilresi  25043  cfilres  25044  cmetss  25064  relcmpcmet  25066  cfilucfil3  25068  minveclem4a  25178  filnetlem4  35569