Theorem filfbas 23786

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23785	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  ‘cfv 6531  fBascfbas 21303  Filcfil 23783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-fil 23784

This theorem is referenced by:  0nelfil  23787  filsspw  23789  filelss  23790  filin  23792  filtop  23793  snfbas  23804  fgfil  23813  elfilss  23814  filfinnfr  23815  fgabs  23817  filconn  23821  fgtr  23828  trfg  23829  ufilb  23844  ufilmax  23845  isufil2  23846  ssufl  23856  ufileu  23857  filufint  23858  ufilen  23868  fmfg  23887  fmufil  23897  fmid  23898  fmco  23899  ufldom  23900  hausflim  23919  flimrest  23921  flimclslem  23922  flfnei  23929  isflf  23931  flfcnp  23942  fclsrest  23962  fclsfnflim  23965  flimfnfcls  23966  isfcf  23972  cnpfcfi  23978  cnpfcf  23979  cnextcn  24005  cfilufg  24231  neipcfilu  24234  cnextucn  24241  ucnextcn  24242  cfilresi  25247  cfilres  25248  cmetss  25268  relcmpcmet  25270  cfilucfil3  25272  minveclem4a  25382  filnetlem4  36399