Theorem filfbas 23823

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23822	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6492  fBascfbas 21332  Filcfil 23820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-fil 23821

This theorem is referenced by:  0nelfil  23824  filsspw  23826  filelss  23827  filin  23829  filtop  23830  snfbas  23841  fgfil  23850  elfilss  23851  filfinnfr  23852  fgabs  23854  filconn  23858  fgtr  23865  trfg  23866  ufilb  23881  ufilmax  23882  isufil2  23883  ssufl  23893  ufileu  23894  filufint  23895  ufilen  23905  fmfg  23924  fmufil  23934  fmid  23935  fmco  23936  ufldom  23937  hausflim  23956  flimrest  23958  flimclslem  23959  flfnei  23966  isflf  23968  flfcnp  23979  fclsrest  23999  fclsfnflim  24002  flimfnfcls  24003  isfcf  24009  cnpfcfi  24015  cnpfcf  24016  cnextcn  24042  cfilufg  24267  neipcfilu  24270  cnextucn  24277  ucnextcn  24278  cfilresi  25272  cfilres  25273  cmetss  25293  relcmpcmet  25295  cfilucfil3  25297  minveclem4a  25407  filnetlem4  36579