Theorem filfbas 24222

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24221	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6566  fBascfbas 21717  Filcfil 24219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-fil 24220

This theorem is used by:  0nelfil  24223  filsspw  24225  filelss  24226  filin  24228  filtop  24229  snfbas  24240  fgfil  24249  elfilss  24250  filfinnfr  24251  fgabs  24253  filconn  24257  fgtr  24264  trfg  24265  ufilb  24280  ufilmax  24281  isufil2  24282  ssufl  24292  ufileu  24293  filufint  24294  ufilen  24304  fmfg  24323  fmufil  24333  fmid  24334  fmco  24335  ufldom  24336  hausflim  24355  flimrest  24357  flimclslem  24358  flfnei  24365  isflf  24367  flfcnp  24378  fclsrest  24398  fclsfnflim  24401  flimfnfcls  24402  isfcf  24408  cnpfcfi  24414  cnpfcf  24415  cnextcn  24441  cfilufg  24666  neipcfilu  24669  cnextucn  24676  ucnextcn  24677  cfilresi  25671  cfilres  25672  cmetss  25692  relcmpcmet  25694  cfilucfil3  25696  minveclem4a  25806  filnetlem4  37384