Theorem filfbas 23856

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23855	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  ‘cfv 6561  fBascfbas 21352  Filcfil 23853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-fil 23854

This theorem is referenced by:  0nelfil  23857  filsspw  23859  filelss  23860  filin  23862  filtop  23863  snfbas  23874  fgfil  23883  elfilss  23884  filfinnfr  23885  fgabs  23887  filconn  23891  fgtr  23898  trfg  23899  ufilb  23914  ufilmax  23915  isufil2  23916  ssufl  23926  ufileu  23927  filufint  23928  ufilen  23938  fmfg  23957  fmufil  23967  fmid  23968  fmco  23969  ufldom  23970  hausflim  23989  flimrest  23991  flimclslem  23992  flfnei  23999  isflf  24001  flfcnp  24012  fclsrest  24032  fclsfnflim  24035  flimfnfcls  24036  isfcf  24042  cnpfcfi  24048  cnpfcf  24049  cnextcn  24075  cfilufg  24302  neipcfilu  24305  cnextucn  24312  ucnextcn  24313  cfilresi  25329  cfilres  25330  cmetss  25350  relcmpcmet  25352  cfilucfil3  25354  minveclem4a  25464  filnetlem4  36382