Theorem filfbas 22450

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 22449	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∩ cin 3934  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ‘cfv 6349  fBascfbas 20527  Filcfil 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-fil 22448

This theorem is referenced by:  0nelfil  22451  filsspw  22453  filelss  22454  filin  22456  filtop  22457  snfbas  22468  fgfil  22477  elfilss  22478  filfinnfr  22479  fgabs  22481  filconn  22485  fgtr  22492  trfg  22493  ufilb  22508  ufilmax  22509  isufil2  22510  ssufl  22520  ufileu  22521  filufint  22522  ufilen  22532  fmfg  22551  fmufil  22561  fmid  22562  fmco  22563  ufldom  22564  hausflim  22583  flimrest  22585  flimclslem  22586  flfnei  22593  isflf  22595  flfcnp  22606  fclsrest  22626  fclsfnflim  22629  flimfnfcls  22630  isfcf  22636  cnpfcfi  22642  cnpfcf  22643  cnextcn  22669  cfilufg  22896  neipcfilu  22899  cnextucn  22906  ucnextcn  22907  cfilresi  23892  cfilres  23893  cmetss  23913  relcmpcmet  23915  cfilucfil3  23917  minveclem4a  24027  filnetlem4  33724