Theorem filfbas 24160

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24159	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ‘cfv 6537  fBascfbas 21659  Filcfil 24157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-fil 24158

This theorem is used by:  0nelfil  24161  filsspw  24163  filelss  24164  filin  24166  filtop  24167  snfbas  24178  fgfil  24187  elfilss  24188  filfinnfr  24189  fgabs  24191  filconn  24195  fgtr  24202  trfg  24203  ufilb  24218  ufilmax  24219  isufil2  24220  ssufl  24230  ufileu  24231  filufint  24232  ufilen  24242  fmfg  24261  fmufil  24271  fmid  24272  fmco  24273  ufldom  24274  hausflim  24293  flimrest  24295  flimclslem  24296  flfnei  24303  isflf  24305  flfcnp  24316  fclsrest  24336  fclsfnflim  24339  flimfnfcls  24340  isfcf  24346  cnpfcfi  24352  cnpfcf  24353  cnextcn  24379  cfilufg  24604  neipcfilu  24607  cnextucn  24614  ucnextcn  24615  cfilresi  25609  cfilres  25610  cmetss  25630  relcmpcmet  25632  cfilucfil3  25634  minveclem4a  25744  filnetlem4  37149