Theorem filfbas 23352

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23351	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ‘cfv 6544  fBascfbas 20932  Filcfil 23349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-fil 23350

This theorem is referenced by:  0nelfil  23353  filsspw  23355  filelss  23356  filin  23358  filtop  23359  snfbas  23370  fgfil  23379  elfilss  23380  filfinnfr  23381  fgabs  23383  filconn  23387  fgtr  23394  trfg  23395  ufilb  23410  ufilmax  23411  isufil2  23412  ssufl  23422  ufileu  23423  filufint  23424  ufilen  23434  fmfg  23453  fmufil  23463  fmid  23464  fmco  23465  ufldom  23466  hausflim  23485  flimrest  23487  flimclslem  23488  flfnei  23495  isflf  23497  flfcnp  23508  fclsrest  23528  fclsfnflim  23531  flimfnfcls  23532  isfcf  23538  cnpfcfi  23544  cnpfcf  23545  cnextcn  23571  cfilufg  23798  neipcfilu  23801  cnextucn  23808  ucnextcn  23809  cfilresi  24812  cfilres  24813  cmetss  24833  relcmpcmet  24835  cfilucfil3  24837  minveclem4a  24947  filnetlem4  35266