Theorem filfbas 22980

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 22979	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065   ∩ cin 3890  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4538  ‘cfv 6430  fBascfbas 20566  Filcfil 22977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-fil 22978

This theorem is referenced by:  0nelfil  22981  filsspw  22983  filelss  22984  filin  22986  filtop  22987  snfbas  22998  fgfil  23007  elfilss  23008  filfinnfr  23009  fgabs  23011  filconn  23015  fgtr  23022  trfg  23023  ufilb  23038  ufilmax  23039  isufil2  23040  ssufl  23050  ufileu  23051  filufint  23052  ufilen  23062  fmfg  23081  fmufil  23091  fmid  23092  fmco  23093  ufldom  23094  hausflim  23113  flimrest  23115  flimclslem  23116  flfnei  23123  isflf  23125  flfcnp  23136  fclsrest  23156  fclsfnflim  23159  flimfnfcls  23160  isfcf  23166  cnpfcfi  23172  cnpfcf  23173  cnextcn  23199  cfilufg  23426  neipcfilu  23429  cnextucn  23436  ucnextcn  23437  cfilresi  24440  cfilres  24441  cmetss  24461  relcmpcmet  24463  cfilucfil3  24465  minveclem4a  24575  filnetlem4  34549