Theorem filfbas 23802

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23801	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  ‘cfv 6541  fBascfbas 21314  Filcfil 23799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-fil 23800

This theorem is referenced by:  0nelfil  23803  filsspw  23805  filelss  23806  filin  23808  filtop  23809  snfbas  23820  fgfil  23829  elfilss  23830  filfinnfr  23831  fgabs  23833  filconn  23837  fgtr  23844  trfg  23845  ufilb  23860  ufilmax  23861  isufil2  23862  ssufl  23872  ufileu  23873  filufint  23874  ufilen  23884  fmfg  23903  fmufil  23913  fmid  23914  fmco  23915  ufldom  23916  hausflim  23935  flimrest  23937  flimclslem  23938  flfnei  23945  isflf  23947  flfcnp  23958  fclsrest  23978  fclsfnflim  23981  flimfnfcls  23982  isfcf  23988  cnpfcfi  23994  cnpfcf  23995  cnextcn  24021  cfilufg  24247  neipcfilu  24250  cnextucn  24257  ucnextcn  24258  cfilresi  25265  cfilres  25266  cmetss  25286  relcmpcmet  25288  cfilucfil3  25290  minveclem4a  25400  filnetlem4  36341