Theorem filfbas 23831

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23830	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  ‘cfv 6485  fBascfbas 21335  Filcfil 23828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-fil 23829

This theorem is referenced by:  0nelfil  23832  filsspw  23834  filelss  23835  filin  23837  filtop  23838  snfbas  23849  fgfil  23858  elfilss  23859  filfinnfr  23860  fgabs  23862  filconn  23866  fgtr  23873  trfg  23874  ufilb  23889  ufilmax  23890  isufil2  23891  ssufl  23901  ufileu  23902  filufint  23903  ufilen  23913  fmfg  23932  fmufil  23942  fmid  23943  fmco  23944  ufldom  23945  hausflim  23964  flimrest  23966  flimclslem  23967  flfnei  23974  isflf  23976  flfcnp  23987  fclsrest  24007  fclsfnflim  24010  flimfnfcls  24011  isfcf  24017  cnpfcfi  24023  cnpfcf  24024  cnextcn  24050  cfilufg  24275  neipcfilu  24278  cnextucn  24285  ucnextcn  24286  cfilresi  25280  cfilres  25281  cmetss  25301  relcmpcmet  25303  cfilucfil3  25305  minveclem4a  25415  filnetlem4  36609