Theorem filfbas 23973

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23972	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ‘cfv 6537  fBascfbas 21478  Filcfil 23970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-fil 23971

This theorem is referenced by:  0nelfil  23974  filsspw  23976  filelss  23977  filin  23979  filtop  23980  snfbas  23991  fgfil  24000  elfilss  24001  filfinnfr  24002  fgabs  24004  filconn  24008  fgtr  24015  trfg  24016  ufilb  24031  ufilmax  24032  isufil2  24033  ssufl  24043  ufileu  24044  filufint  24045  ufilen  24055  fmfg  24074  fmufil  24084  fmid  24085  fmco  24086  ufldom  24087  hausflim  24106  flimrest  24108  flimclslem  24109  flfnei  24116  isflf  24118  flfcnp  24129  fclsrest  24149  fclsfnflim  24152  flimfnfcls  24153  isfcf  24159  cnpfcfi  24165  cnpfcf  24166  cnextcn  24192  cfilufg  24417  neipcfilu  24420  cnextucn  24427  ucnextcn  24428  cfilresi  25422  cfilres  25423  cmetss  25443  relcmpcmet  25445  cfilucfil3  25447  minveclem4a  25557  filnetlem4  36780