Theorem filfbas 23763

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23762	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  ‘cfv 6481  fBascfbas 21279  Filcfil 23760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-fil 23761

This theorem is referenced by:  0nelfil  23764  filsspw  23766  filelss  23767  filin  23769  filtop  23770  snfbas  23781  fgfil  23790  elfilss  23791  filfinnfr  23792  fgabs  23794  filconn  23798  fgtr  23805  trfg  23806  ufilb  23821  ufilmax  23822  isufil2  23823  ssufl  23833  ufileu  23834  filufint  23835  ufilen  23845  fmfg  23864  fmufil  23874  fmid  23875  fmco  23876  ufldom  23877  hausflim  23896  flimrest  23898  flimclslem  23899  flfnei  23906  isflf  23908  flfcnp  23919  fclsrest  23939  fclsfnflim  23942  flimfnfcls  23943  isfcf  23949  cnpfcfi  23955  cnpfcf  23956  cnextcn  23982  cfilufg  24207  neipcfilu  24210  cnextucn  24217  ucnextcn  24218  cfilresi  25222  cfilres  25223  cmetss  25243  relcmpcmet  25245  cfilucfil3  25247  minveclem4a  25357  filnetlem4  36423