Theorem filfbas 23792

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23791	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ‘cfv 6492  fBascfbas 21297  Filcfil 23789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-fil 23790

This theorem is referenced by:  0nelfil  23793  filsspw  23795  filelss  23796  filin  23798  filtop  23799  snfbas  23810  fgfil  23819  elfilss  23820  filfinnfr  23821  fgabs  23823  filconn  23827  fgtr  23834  trfg  23835  ufilb  23850  ufilmax  23851  isufil2  23852  ssufl  23862  ufileu  23863  filufint  23864  ufilen  23874  fmfg  23893  fmufil  23903  fmid  23904  fmco  23905  ufldom  23906  hausflim  23925  flimrest  23927  flimclslem  23928  flfnei  23935  isflf  23937  flfcnp  23948  fclsrest  23968  fclsfnflim  23971  flimfnfcls  23972  isfcf  23978  cnpfcfi  23984  cnpfcf  23985  cnextcn  24011  cfilufg  24236  neipcfilu  24239  cnextucn  24246  ucnextcn  24247  cfilresi  25251  cfilres  25252  cmetss  25272  relcmpcmet  25274  cfilucfil3  25276  minveclem4a  25386  filnetlem4  36575