Theorem filfbas 23877

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23876	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ‘cfv 6573  fBascfbas 21375  Filcfil 23874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-fil 23875

This theorem is referenced by:  0nelfil  23878  filsspw  23880  filelss  23881  filin  23883  filtop  23884  snfbas  23895  fgfil  23904  elfilss  23905  filfinnfr  23906  fgabs  23908  filconn  23912  fgtr  23919  trfg  23920  ufilb  23935  ufilmax  23936  isufil2  23937  ssufl  23947  ufileu  23948  filufint  23949  ufilen  23959  fmfg  23978  fmufil  23988  fmid  23989  fmco  23990  ufldom  23991  hausflim  24010  flimrest  24012  flimclslem  24013  flfnei  24020  isflf  24022  flfcnp  24033  fclsrest  24053  fclsfnflim  24056  flimfnfcls  24057  isfcf  24063  cnpfcfi  24069  cnpfcf  24070  cnextcn  24096  cfilufg  24323  neipcfilu  24326  cnextucn  24333  ucnextcn  24334  cfilresi  25348  cfilres  25349  cmetss  25369  relcmpcmet  25371  cfilucfil3  25373  minveclem4a  25483  filnetlem4  36347