Theorem filfbas 23711

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23710	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ‘cfv 6499  fBascfbas 21228  Filcfil 23708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-fil 23709

This theorem is referenced by:  0nelfil  23712  filsspw  23714  filelss  23715  filin  23717  filtop  23718  snfbas  23729  fgfil  23738  elfilss  23739  filfinnfr  23740  fgabs  23742  filconn  23746  fgtr  23753  trfg  23754  ufilb  23769  ufilmax  23770  isufil2  23771  ssufl  23781  ufileu  23782  filufint  23783  ufilen  23793  fmfg  23812  fmufil  23822  fmid  23823  fmco  23824  ufldom  23825  hausflim  23844  flimrest  23846  flimclslem  23847  flfnei  23854  isflf  23856  flfcnp  23867  fclsrest  23887  fclsfnflim  23890  flimfnfcls  23891  isfcf  23897  cnpfcfi  23903  cnpfcf  23904  cnextcn  23930  cfilufg  24156  neipcfilu  24159  cnextucn  24166  ucnextcn  24167  cfilresi  25171  cfilres  25172  cmetss  25192  relcmpcmet  25194  cfilucfil3  25196  minveclem4a  25306  filnetlem4  36342