Theorem filfbas 23804

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23803	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6500  fBascfbas 21309  Filcfil 23801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-fil 23802

This theorem is referenced by:  0nelfil  23805  filsspw  23807  filelss  23808  filin  23810  filtop  23811  snfbas  23822  fgfil  23831  elfilss  23832  filfinnfr  23833  fgabs  23835  filconn  23839  fgtr  23846  trfg  23847  ufilb  23862  ufilmax  23863  isufil2  23864  ssufl  23874  ufileu  23875  filufint  23876  ufilen  23886  fmfg  23905  fmufil  23915  fmid  23916  fmco  23917  ufldom  23918  hausflim  23937  flimrest  23939  flimclslem  23940  flfnei  23947  isflf  23949  flfcnp  23960  fclsrest  23980  fclsfnflim  23983  flimfnfcls  23984  isfcf  23990  cnpfcfi  23996  cnpfcf  23997  cnextcn  24023  cfilufg  24248  neipcfilu  24251  cnextucn  24258  ucnextcn  24259  cfilresi  25263  cfilres  25264  cmetss  25284  relcmpcmet  25286  cfilucfil3  25288  minveclem4a  25398  filnetlem4  36597