Theorem filfbas 24056

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24055	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  ‘cfv 6540  fBascfbas 21560  Filcfil 24053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-fil 24054

This theorem is used by:  0nelfil  24057  filsspw  24059  filelss  24060  filin  24062  filtop  24063  snfbas  24074  fgfil  24083  elfilss  24084  filfinnfr  24085  fgabs  24087  filconn  24091  fgtr  24098  trfg  24099  ufilb  24114  ufilmax  24115  isufil2  24116  ssufl  24126  ufileu  24127  filufint  24128  ufilen  24138  fmfg  24157  fmufil  24167  fmid  24168  fmco  24169  ufldom  24170  hausflim  24189  flimrest  24191  flimclslem  24192  flfnei  24199  isflf  24201  flfcnp  24212  fclsrest  24232  fclsfnflim  24235  flimfnfcls  24236  isfcf  24242  cnpfcfi  24248  cnpfcf  24249  cnextcn  24275  cfilufg  24500  neipcfilu  24503  cnextucn  24510  ucnextcn  24511  cfilresi  25505  cfilres  25506  cmetss  25526  relcmpcmet  25528  cfilucfil3  25530  minveclem4a  25640  filnetlem4  36949