Theorem filfbas 24005

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 24004	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  ‘cfv 6536  fBascfbas 21510  Filcfil 24002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-fil 24003

This theorem is referenced by:  0nelfil  24006  filsspw  24008  filelss  24009  filin  24011  filtop  24012  snfbas  24023  fgfil  24032  elfilss  24033  filfinnfr  24034  fgabs  24036  filconn  24040  fgtr  24047  trfg  24048  ufilb  24063  ufilmax  24064  isufil2  24065  ssufl  24075  ufileu  24076  filufint  24077  ufilen  24087  fmfg  24106  fmufil  24116  fmid  24117  fmco  24118  ufldom  24119  hausflim  24138  flimrest  24140  flimclslem  24141  flfnei  24148  isflf  24150  flfcnp  24161  fclsrest  24181  fclsfnflim  24184  flimfnfcls  24185  isfcf  24191  cnpfcfi  24197  cnpfcf  24198  cnextcn  24224  cfilufg  24449  neipcfilu  24452  cnextucn  24459  ucnextcn  24460  cfilresi  25454  cfilres  25455  cmetss  25475  relcmpcmet  25477  cfilucfil3  25479  minveclem4a  25589  filnetlem4  36892