Theorem fgfil 23904

Description: A filter generates itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fgfil

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23877	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		elfg 23900	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
4		filss 23882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐹)
5	4	3exp2 1354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
6	5	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
7	6	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹)))
8	7	impcomd 411	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐹))
9	3, 8	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) → 𝑡 ∈ 𝐹))
10	9	ssrdv 4014	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ 𝐹)
11		ssfg 23901	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
12	1, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
13	10, 12	eqssd 4026	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  fBascfbas 21375  filGencfg 21376  Filcfil 23874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-fil 23875

This theorem is referenced by:  elfilss  23905  fgtr  23919  fmid  23989  isfcf  24063  cnextcn  24096  filnetlem4  36347