Theorem fgfil 23823

Description: A filter generates itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fgfil

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23796	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		elfg 23819	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
4		filss 23801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐹)
5	4	3exp2 1356	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
6	5	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
7	6	rexlimdv 3136	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹)))
8	7	impcomd 411	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐹))
9	3, 8	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) → 𝑡 ∈ 𝐹))
10	9	ssrdv 3940	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ 𝐹)
11		ssfg 23820	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
12	1, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
13	10, 12	eqssd 3952	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  fBascfbas 21301  filGencfg 21302  Filcfil 23793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-fil 23794

This theorem is referenced by:  elfilss  23824  fgtr  23838  fmid  23908  isfcf  23982  cnextcn  24015  filnetlem4  36556