Theorem fgfil 22934

Description: A filter generates itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fgfil

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 22907	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		elfg 22930	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
4		filss 22912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐹)
5	4	3exp2 1352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
6	5	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹))))
7	6	rexlimdv 3211	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐹)))
8	7	impcomd 411	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐹))
9	3, 8	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) → 𝑡 ∈ 𝐹))
10	9	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ 𝐹)
11		ssfg 22931	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
12	1, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
13	10, 12	eqssd 3934	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  fBascfbas 20498  filGencfg 20499  Filcfil 22904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-fil 22905

This theorem is referenced by:  elfilss  22935  fgtr  22949  fmid  23019  isfcf  23093  cnextcn  23126  filnetlem4  34497