Theorem imass2 6051

Description: Subset theorem for image. Exercise 22(a) of [Enderton] p. 53. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imass2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 5953	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵))
2		rnss 5879	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵) → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
4		df-ima 5629	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
5		df-ima 5629	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
6	3, 4, 5	3sstr4g 3988	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3902  ran crn 5617   ↾ cres 5618   “ cima 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629

This theorem is referenced by:  funimass1  6563  funimass2  6564  fvimacnv  6986  fnfvimad  7168  f1imass  7198  ecinxp  8716  sbthlem1  9000  sbthlem2  9001  php3  9118  ordtypelem2  9405  tcrank  9774  limsupgord  15376  isercoll  15572  isacs1i  17560  gsumzf1o  19822  dprdres  19940  dprd2da  19954  dmdprdsplit2lem  19957  lmhmlsp  20981  f1lindf  21757  iscnp4  23176  cnpco  23180  cncls2i  23183  cnntri  23184  cnrest2  23199  cnpresti  23201  cnprest  23202  1stcfb  23358  xkococnlem  23572  qtopval2  23609  tgqtop  23625  qtoprest  23630  kqdisj  23645  regr1lem  23652  kqreglem1  23654  kqreglem2  23655  kqnrmlem1  23656  kqnrmlem2  23657  nrmhmph  23707  fbasrn  23797  elfm2  23861  fmfnfmlem1  23867  fmco  23874  flffbas  23908  cnpflf2  23913  cnextcn  23980  metcnp3  24453  metustto  24466  cfilucfil  24472  uniioombllem3  25511  dyadmbllem  25525  mbfconstlem  25553  i1fima2  25605  itg2gt0  25686  ellimc3  25805  limcflf  25807  limcresi  25811  limciun  25820  lhop  25946  ig1peu  26105  ig1pdvds  26110  psercnlem2  26359  dvloglem  26582  efopn  26592  noetalem1  27678  madess  27819  oldss  27821  cofcut1  27862  negsproplem2  27969  bdayon  28207  fnpreimac  32648  fsuppinisegfi  32663  gsumpart  33032  elrgspnsubrunlem2  33210  txomap  33842  zarcmplem  33889  tpr2rico  33920  pthhashvtx  35160  cvmsss2  35306  cvmopnlem  35310  cvmliftmolem1  35313  cvmliftlem15  35330  cvmlift2lem9  35343  imadifss  37634  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem15  37674  poimirlem30  37689  dvtan  37709  heibor1lem  37848  aks6d1c2  42162  aks6d1c6lem3  42204  aks6d1c6lem5  42209  isnumbasabl  43138  isnumbasgrp  43139  dfacbasgrp  43140  trclimalb2  43758  frege81d  43779  imass2d  45297  limccog  45659  liminfgord  45791  uhgrimisgrgriclem  47960  clnbgrgrim  47964