Theorem imass2 6061

Description: Subset theorem for image. Exercise 22(a) of [Enderton] p. 53. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imass2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 5963	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵))
2		rnss 5888	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵) → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
4		df-ima 5637	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
5		df-ima 5637	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
6	3, 4, 5	3sstr4g 3976	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3890  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637

This theorem is referenced by:  funimass1  6574  funimass2  6575  fvimacnv  6999  fnfvimad  7182  f1imass  7212  ecinxp  8732  sbthlem1  9018  sbthlem2  9019  php3  9136  ordtypelem2  9427  tcrank  9799  limsupgord  15425  isercoll  15621  isacs1i  17614  gsumzf1o  19878  dprdres  19996  dprd2da  20010  dmdprdsplit2lem  20013  lmhmlsp  21036  f1lindf  21812  iscnp4  23238  cnpco  23242  cncls2i  23245  cnntri  23246  cnrest2  23261  cnpresti  23263  cnprest  23264  1stcfb  23420  xkococnlem  23634  qtopval2  23671  tgqtop  23687  qtoprest  23692  kqdisj  23707  regr1lem  23714  kqreglem1  23716  kqreglem2  23717  kqnrmlem1  23718  kqnrmlem2  23719  nrmhmph  23769  fbasrn  23859  elfm2  23923  fmfnfmlem1  23929  fmco  23936  flffbas  23970  cnpflf2  23975  cnextcn  24042  metcnp3  24515  metustto  24528  cfilucfil  24534  uniioombllem3  25562  dyadmbllem  25576  mbfconstlem  25604  i1fima2  25656  itg2gt0  25737  ellimc3  25856  limcflf  25858  limcresi  25862  limciun  25871  lhop  25993  ig1peu  26150  ig1pdvds  26155  psercnlem2  26402  dvloglem  26625  efopn  26635  noetalem1  27719  madess  27872  oldss  27876  cofcut1  27926  negsproplem2  28035  bdayons  28282  fnpreimac  32758  fsuppinisegfi  32775  gsumpart  33139  elrgspnsubrunlem2  33324  txomap  33994  zarcmplem  34041  tpr2rico  34072  pthhashvtx  35326  cvmsss2  35472  cvmopnlem  35476  cvmliftmolem1  35479  cvmliftlem15  35496  cvmlift2lem9  35509  imadifss  37930  poimirlem1  37956  poimirlem2  37957  poimirlem3  37958  poimirlem15  37970  poimirlem30  37985  dvtan  38005  heibor1lem  38144  aks6d1c2  42583  aks6d1c6lem3  42625  aks6d1c6lem5  42630  isnumbasabl  43552  isnumbasgrp  43553  dfacbasgrp  43554  trclimalb2  44171  frege81d  44192  imass2d  45708  limccog  46068  liminfgord  46200  uhgrimisgrgriclem  48418  clnbgrgrim  48422