Theorem imass2 6102

Description: Subset theorem for image. Exercise 22(a) of [Enderton] p. 53. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imass2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 6010	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵))
2		rnss 5939	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵) → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
4		df-ima 5690	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
5		df-ima 5690	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
6	3, 4, 5	3sstr4g 4028	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3949  ran crn 5678   ↾ cres 5679   “ cima 5680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690

This theorem is referenced by:  funimass1  6631  funimass2  6632  fvimacnv  7055  fnfvimad  7236  f1imass  7263  ecinxp  8786  sbthlem1  9083  sbthlem2  9084  php3  9212  php3OLD  9224  ordtypelem2  9514  tcrank  9879  limsupgord  15416  isercoll  15614  isacs1i  17601  gsumzf1o  19780  dprdres  19898  dprd2da  19912  dmdprdsplit2lem  19915  lmhmlsp  20660  f1lindf  21377  iscnp4  22767  cnpco  22771  cncls2i  22774  cnntri  22775  cnrest2  22790  cnpresti  22792  cnprest  22793  1stcfb  22949  xkococnlem  23163  qtopval2  23200  tgqtop  23216  qtoprest  23221  kqdisj  23236  regr1lem  23243  kqreglem1  23245  kqreglem2  23246  kqnrmlem1  23247  kqnrmlem2  23248  nrmhmph  23298  fbasrn  23388  elfm2  23452  fmfnfmlem1  23458  fmco  23465  flffbas  23499  cnpflf2  23504  cnextcn  23571  metcnp3  24049  metustto  24062  cfilucfil  24068  uniioombllem3  25102  dyadmbllem  25116  mbfconstlem  25144  i1fima2  25196  itg2gt0  25278  ellimc3  25396  limcflf  25398  limcresi  25402  limciun  25411  lhop  25533  ig1peu  25689  ig1pdvds  25694  psercnlem2  25936  dvloglem  26156  efopn  26166  noetalem1  27244  madess  27371  cofcut1  27407  negsproplem2  27503  fnpreimac  31896  fsuppinisegfi  31909  gsumpart  32207  txomap  32814  zarcmplem  32861  tpr2rico  32892  pthhashvtx  34118  cvmsss2  34265  cvmopnlem  34269  cvmliftmolem1  34272  cvmliftlem15  34289  cvmlift2lem9  34302  imadifss  36463  poimirlem1  36489  poimirlem2  36490  poimirlem3  36491  poimirlem15  36503  poimirlem30  36518  dvtan  36538  heibor1lem  36677  isnumbasabl  41848  isnumbasgrp  41849  dfacbasgrp  41850  trclimalb2  42477  frege81d  42498  imass2d  43966  limccog  44336  liminfgord  44470