Theorem imass2 6122

Description: Subset theorem for image. Exercise 22(a) of [Enderton] p. 53. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imass2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssres2 6024	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵))
2		rnss 5952	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐶 ↾ 𝐵) → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) ⊆ ran (𝐶 ↾ 𝐵))
4		df-ima 5701	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
5		df-ima 5701	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
6	3, 4, 5	3sstr4g 4040	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) ⊆ (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3962  ran crn 5689   ↾ cres 5690   “ cima 5691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-cnv 5696  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701

This theorem is referenced by:  funimass1  6649  funimass2  6650  fvimacnv  7072  fnfvimad  7253  f1imass  7283  ecinxp  8830  sbthlem1  9121  sbthlem2  9122  php3  9246  php3OLD  9258  ordtypelem2  9556  tcrank  9921  limsupgord  15504  isercoll  15700  isacs1i  17701  gsumzf1o  19944  dprdres  20062  dprd2da  20076  dmdprdsplit2lem  20079  lmhmlsp  21065  f1lindf  21859  iscnp4  23286  cnpco  23290  cncls2i  23293  cnntri  23294  cnrest2  23309  cnpresti  23311  cnprest  23312  1stcfb  23468  xkococnlem  23682  qtopval2  23719  tgqtop  23735  qtoprest  23740  kqdisj  23755  regr1lem  23762  kqreglem1  23764  kqreglem2  23765  kqnrmlem1  23766  kqnrmlem2  23767  nrmhmph  23817  fbasrn  23907  elfm2  23971  fmfnfmlem1  23977  fmco  23984  flffbas  24018  cnpflf2  24023  cnextcn  24090  metcnp3  24568  metustto  24581  cfilucfil  24587  uniioombllem3  25633  dyadmbllem  25647  mbfconstlem  25675  i1fima2  25727  itg2gt0  25809  ellimc3  25928  limcflf  25930  limcresi  25934  limciun  25943  lhop  26069  ig1peu  26228  ig1pdvds  26233  psercnlem2  26482  dvloglem  26704  efopn  26714  noetalem1  27800  madess  27929  cofcut1  27968  negsproplem2  28075  fnpreimac  32687  fsuppinisegfi  32701  gsumpart  33042  txomap  33794  zarcmplem  33841  tpr2rico  33872  pthhashvtx  35111  cvmsss2  35258  cvmopnlem  35262  cvmliftmolem1  35265  cvmliftlem15  35282  cvmlift2lem9  35295  imadifss  37581  poimirlem1  37607  poimirlem2  37608  poimirlem3  37609  poimirlem15  37621  poimirlem30  37636  dvtan  37656  heibor1lem  37795  aks6d1c2  42111  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6lem5  42158  isnumbasabl  43094  isnumbasgrp  43095  dfacbasgrp  43096  trclimalb2  43715  frege81d  43736  imass2d  45206  limccog  45575  liminfgord  45709  uhgrimisgrgriclem  47835  clnbgrgrim  47839