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Theorem tsmsf1o 23869
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsf1o.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsf1o.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsf1o.s (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
2 f1opwfi 9358 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
6 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))
76fmpt 7110 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85, 7sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧))
109imbi1d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
1110ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
126, 11rexrnmptw 7095 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
14 f1ofo 6839 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15 forn 6807 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1716rexeqdv 3324 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
18 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐻 β€œ π‘Ž) = (𝐻 β€œ 𝑏))
1918cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ 𝑏))
2019fmpt 7110 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
215, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)))
23 reseq2 5975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)))
2423oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))))
2524eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒))
2622, 25imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2719, 26ralrnmptw 7094 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2916raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3028, 29bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3130adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
32 f1of1 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
3433ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
35 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3635simplbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
3736ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
38 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
3938simplbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
41 f1imass 7265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
4234, 37, 40, 41syl12anc 833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
44 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4645ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
47 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
49 f1ores 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5034, 40, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
51 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
53 fofi 9340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
5448, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5655ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
57 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† ran 𝐻
581ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
59 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–onto→𝐴)
60 forn 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–onto→𝐴 β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6257, 61sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† 𝐴)
6356, 62fssresd 6757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)):(𝐻 β€œ 𝑏)⟢𝐡)
64 fvexd 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6563, 54, 64fdmfifsupp 9375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6643, 44, 46, 54, 63, 65, 50gsumf1o 19825 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))))
67 df-ima 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 β€œ 𝑏) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑏)
6867eqimss2i 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)
69 cores 6247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
71 resco 6248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
7270, 71eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)
7372oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏))
7466, 73eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)))
7574eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
7642, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7776ralbidva 3173 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7831, 77bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7978rexbidva 3174 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8013, 17, 793bitr3d 308 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8180imbi2d 339 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8281ralbidv 3175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8382anbi2d 627 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
84 eqid 2730 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
85 eqid 2730 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
86 tsmsf1o.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
87 tsmsf1o.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8843, 84, 85, 45, 86, 87, 55eltsms 23857 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
89 eqid 2730 . . . 4 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin)
90 f1dmex 7945 . . . . 5 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ V)
9133, 87, 90syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
92 f1of 6832 . . . . . 6 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
931, 92syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
94 fco 6740 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐻:𝐢⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9555, 93, 94syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9643, 84, 89, 45, 86, 91, 95eltsms 23857 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
9783, 88, 963bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻))))
9897eqrdv 2728 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  CMndccmn 19689  TopSpctps 22654   tsums ctsu 23850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851
This theorem is referenced by:  esumf1o  33346
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