MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsf1o 23649
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsf1o.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsf1o.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsf1o.s (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
2 f1opwfi 9356 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))
76fmpt 7110 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85, 7sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧))
109imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
1110ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
126, 11rexrnmptw 7097 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
14 f1ofo 6841 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15 forn 6809 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1716rexeqdv 3327 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
18 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐻 β€œ π‘Ž) = (𝐻 β€œ 𝑏))
1918cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ 𝑏))
2019fmpt 7110 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
215, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)))
23 reseq2 5977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)))
2423oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2719, 26ralrnmptw 7096 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2916raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3028, 29bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
32 f1of1 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
35 elfpw 9354 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3635simplbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
38 elfpw 9354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
3938simplbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
41 f1imass 7263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
4234, 37, 40, 41syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
47 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
49 f1ores 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5034, 40, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
51 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
53 fofi 9338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
5448, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
57 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† ran 𝐻
581ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
59 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–onto→𝐴)
60 forn 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–onto→𝐴 β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6257, 61sseqtrid 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† 𝐴)
6356, 62fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)):(𝐻 β€œ 𝑏)⟢𝐡)
64 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6563, 54, 64fdmfifsupp 9373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6643, 44, 46, 54, 63, 65, 50gsumf1o 19784 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))))
67 df-ima 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 β€œ 𝑏) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑏)
6867eqimss2i 4044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)
69 cores 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
71 resco 6250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
7270, 71eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)
7372oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏))
7466, 73eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)))
7574eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
7642, 75imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7776ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7831, 77bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7978rexbidva 3177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8013, 17, 793bitr3d 309 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8180imbi2d 341 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8281ralbidv 3178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8382anbi2d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
84 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
85 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
86 tsmsf1o.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
87 tsmsf1o.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8843, 84, 85, 45, 86, 87, 55eltsms 23637 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
89 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin)
90 f1dmex 7943 . . . . 5 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ V)
9133, 87, 90syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
92 f1of 6834 . . . . . 6 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
931, 92syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
94 fco 6742 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐻:𝐢⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9555, 93, 94syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9643, 84, 89, 45, 86, 91, 95eltsms 23637 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
9783, 88, 963bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻))))
9897eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  TopSpctps 22434   tsums ctsu 23630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631
This theorem is referenced by:  esumf1o  33048
  Copyright terms: Public domain W3C validator