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Theorem tsmsf1o 23512
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsf1o.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsf1o.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsf1o.s (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
2 f1opwfi 9303 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))
76fmpt 7059 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85, 7sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9 sseq1 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧))
109imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
1110ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻 β€œ π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
126, 11rexrnmptw 7046 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ π‘Ž) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
14 f1ofo 6792 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15 forn 6760 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)–ontoβ†’(𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1716rexeqdv 3313 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
18 imaeq2 6010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐻 β€œ π‘Ž) = (𝐻 β€œ 𝑏))
1918cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ 𝑏))
2019fmpt 7059 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž)):(𝒫 𝐢 ∩ Fin)⟢(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
215, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 ↔ (𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)))
23 reseq2 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)))
2423oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2719, 26ralrnmptw 7045 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(𝐻 β€œ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒)))
2916raleqdv 3312 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↦ (𝐻 β€œ π‘Ž))((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3028, 29bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
32 f1of1 6784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1→𝐴)
35 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3635simplbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐢)
38 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
3938simplbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐢)
41 f1imass 7212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐢 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
4234, 37, 40, 41syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
47 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
49 f1ores 6799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐢) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5034, 40, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
51 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–1-1-ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏))
53 fofi 9285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐻 β†Ύ 𝑏):𝑏–ontoβ†’(𝐻 β€œ 𝑏)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
5448, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) ∈ Fin)
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
57 imassrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† ran 𝐻
581ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ 𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴)
59 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢–onto→𝐴)
60 forn 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐢–onto→𝐴 β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐻 = 𝐴)
6257, 61sseqtrid 3997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β€œ 𝑏) βŠ† 𝐴)
6356, 62fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)):(𝐻 β€œ 𝑏)⟢𝐡)
64 fvexd 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6563, 54, 64fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6643, 44, 46, 54, 63, 65, 50gsumf1o 19698 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))))
67 df-ima 5647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 β€œ 𝑏) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑏)
6867eqimss2i 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏)
69 cores 6202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝐻 β†Ύ 𝑏) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
71 resco 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))
7270, 71eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏)) = ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)
7372oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏)) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏))
7466, 73eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)))
7574eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
7642, 75imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7776ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† (𝐻 β€œ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐻 β€œ 𝑏))) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7831, 77bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
7978rexbidva 3170 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻 β€œ π‘Ž) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8013, 17, 793bitr3d 309 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
8180imbi2d 341 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8281ralbidv 3171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))))
8382anbi2d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
84 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
85 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
86 tsmsf1o.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
87 tsmsf1o.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8843, 84, 85, 45, 86, 87, 55eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
89 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐢 ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin)
90 f1dmex 7890 . . . . 5 ((𝐻:𝐢–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ V)
9133, 87, 90syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
92 f1of 6785 . . . . . 6 (𝐻:𝐢–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
931, 92syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐢⟢𝐴)
94 fco 6693 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐻:𝐢⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9555, 93, 94syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝐢⟢𝐡)
9643, 84, 89, 45, 86, 91, 95eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
9783, 88, 963bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻))))
9897eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  TopSpctps 22297   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  esumf1o  32706
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