Theorem xlimconst 46363

Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		xlimconst.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
4		xlimconst.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xlimconst.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	fconst7 45803	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7		letopon 23245	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8		xlimconst.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		xlimconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	lmconst 23301	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
11	7, 4, 8, 10	mp3an2i 1486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
12	6, 11	eqbrtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13		df-xlim 46357	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
14	13	breqi 5105	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
15	12, 14	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5643   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  ℝ^*cxr 11212   ≤ cle 11214  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ordTopcordt 17512  TopOnctopon 22950  ⇝_𝑡clm 23266  ~~>*clsxlim 46356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-topgen 17455  df-ordt 17514  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-lm 23269  df-xlim 46357

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46373