Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 45276
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p β„²π‘˜πœ‘
xlimconst.k β„²π‘˜πΉ
xlimconst.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimconst.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimconst.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
2 xlimconst.k . . . 4 β„²π‘˜πΉ
3 xlimconst.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 44704 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑍 Γ— {𝐴}))
7 letopon 23127 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
8 xlimconst.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
109lmconst 23183 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑍 Γ— {𝐴})(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1462 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 Γ— {𝐴})(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 5165 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
13 df-xlim 45270 . . 3 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
1413breqi 5149 . 2 (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
1512, 14sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875  {csn 4624   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ordTopcordt 17480  TopOnctopon 22830  β‡π‘‘clm 23148  ~~>*clsxlim 45269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-z 12589  df-uz 12853  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-lm 23151  df-xlim 45270
This theorem is referenced by:  xlimconst2  45286
  Copyright terms: Public domain W3C validator