Theorem xlimconst 44541

Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		xlimconst.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
4		xlimconst.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xlimconst.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	fconst7 43969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7		letopon 22709	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8		xlimconst.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		xlimconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	lmconst 22765	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
11	7, 4, 8, 10	mp3an2i 1467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
12	6, 11	eqbrtrd 5171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13		df-xlim 44535	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
14	13	breqi 5155	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
15	12, 14	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ordTopcordt 17445  TopOnctopon 22412  ⇝_𝑡clm 22730  ~~>*clsxlim 44534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733  df-xlim 44535

This theorem is referenced by:  xlimconst2  44551