Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 45185
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p 𝑘𝜑
xlimconst.k 𝑘𝐹
xlimconst.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 𝑘𝜑
2 xlimconst.k . . . 4 𝑘𝐹
3 xlimconst.f . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 44613 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7 letopon 23102 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8 xlimconst.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
109lmconst 23158 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1463 . . 3 (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 5164 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13 df-xlim 45179 . . 3 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
1413breqi 5148 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
1512, 14sylibr 233 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wnfc 2878  {csn 4624   class class class wbr 5142   × cxp 5670   Fn wfn 6537  cfv 6542  *cxr 11271  cle 11273  cz 12582  cuz 12846  ordTopcordt 17474  TopOnctopon 22805  𝑡clm 23123  ~~>*clsxlim 45178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-neg 11471  df-z 12583  df-uz 12847  df-topgen 17418  df-ordt 17476  df-ps 18551  df-tsr 18552  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-lm 23126  df-xlim 45179
This theorem is referenced by:  xlimconst2  45195
  Copyright terms: Public domain W3C validator