Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 42090
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p 𝑘𝜑
xlimconst.k 𝑘𝐹
xlimconst.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 𝑘𝜑
2 xlimconst.k . . . 4 𝑘𝐹
3 xlimconst.f . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 41523 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7 letopon 21805 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8 xlimconst.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
109lmconst 21861 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1459 . . 3 (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 5079 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13 df-xlim 42084 . . 3 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
1413breqi 5063 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
1512, 14sylibr 236 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2959  {csn 4559   class class class wbr 5057   × cxp 5546   Fn wfn 6343  cfv 6348  *cxr 10666  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  ordTopcordt 16764  TopOnctopon 21510  𝑡clm 21826  ~~>*clsxlim 42083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-lm 21829  df-xlim 42084
This theorem is referenced by:  xlimconst2  42100
  Copyright terms: Public domain W3C validator