Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 45780
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p 𝑘𝜑
xlimconst.k 𝑘𝐹
xlimconst.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 𝑘𝜑
2 xlimconst.k . . . 4 𝑘𝐹
3 xlimconst.f . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 45209 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7 letopon 23228 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8 xlimconst.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
109lmconst 23284 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 5169 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13 df-xlim 45774 . . 3 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
1413breqi 5153 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
1512, 14sylibr 234 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  {csn 4630   class class class wbr 5147   × cxp 5686   Fn wfn 6557  cfv 6562  *cxr 11291  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  ordTopcordt 17545  TopOnctopon 22931  𝑡clm 23249  ~~>*clsxlim 45773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252  df-xlim 45774
This theorem is referenced by:  xlimconst2  45790
  Copyright terms: Public domain W3C validator