Theorem xlimconst 42467

Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		xlimconst.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
4		xlimconst.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xlimconst.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	fconst7 41904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7		letopon 21810	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8		xlimconst.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		xlimconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	lmconst 21866	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
11	7, 4, 8, 10	mp3an2i 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
12	6, 11	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13		df-xlim 42461	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
14	13	breqi 5036	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
15	12, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  {csn 4525   class class class wbr 5030   × cxp 5517   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ordTopcordt 16764  TopOnctopon 21515  ⇝_𝑡clm 21831  ~~>*clsxlim 42460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-lm 21834  df-xlim 42461

This theorem is referenced by:  xlimconst2  42477