Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 40846
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p 𝑘𝜑
xlimconst.k 𝑘𝐹
xlimconst.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 𝑘𝜑
2 xlimconst.k . . . 4 𝑘𝐹
3 xlimconst.f . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 40284 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7 letopon 21380 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8 xlimconst.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
109lmconst 21436 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1596 . . 3 (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 4895 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13 df-xlim 40840 . . 3 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
1413breqi 4879 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
1512, 14sylibr 226 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wnfc 2956  {csn 4397   class class class wbr 4873   × cxp 5340   Fn wfn 6118  cfv 6123  *cxr 10390  cle 10392  cz 11704  cuz 11968  ordTopcordt 16512  TopOnctopon 21085  𝑡clm 21401  ~~>*clsxlim 40839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-neg 10588  df-z 11705  df-uz 11969  df-topgen 16457  df-ordt 16514  df-ps 17553  df-tsr 17554  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-lm 21404  df-xlim 40840
This theorem is referenced by:  xlimconst2  40856
  Copyright terms: Public domain W3C validator