Theorem xlimconst 43256

Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		xlimconst.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
4		xlimconst.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xlimconst.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	fconst7 42701	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7		letopon 22264	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8		xlimconst.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		xlimconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	lmconst 22320	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
11	7, 4, 8, 10	mp3an2i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
12	6, 11	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13		df-xlim 43250	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
14	13	breqi 5076	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
15	12, 14	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ordTopcordt 17127  TopOnctopon 21967  ⇝_𝑡clm 22285  ~~>*clsxlim 43249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-lm 22288  df-xlim 43250

This theorem is referenced by:  xlimconst2  43266