Theorem flimtop 24133

Description: Reverse closure for the limit point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimtop	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem flimtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	elflim2 24132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ∪ ran Fil ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ⊆ 𝐹)))
3	2	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ∪ ran Fil ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐽))
4	3	simp1d 1159	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Topctop 23061  neicnei 23265  Filcfil 24013   fLim cflim 24102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-top 23062  df-flim 24107

This theorem is used by:  flimfil  24137  flimtopon  24138  flimss1  24141  flimclsi  24146  hausflimlem  24147  flimsncls  24154  cnpflfi  24167  flimfcls  24194  flimfnfcls  24196