Theorem flimtop 23952

Description: Reverse closure for the limit point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimtop	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem flimtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	elflim2 23951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ∪ ran Fil ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ⊆ 𝐹)))
3	2	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ∪ ran Fil ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐽))
4	3	simp1d 1149	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  ∪ cuni 4841  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Topctop 22880  neicnei 23084  Filcfil 23832   fLim cflim 23921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-top 22881  df-flim 23926

This theorem is referenced by:  flimfil  23956  flimtopon  23957  flimss1  23960  flimclsi  23965  hausflimlem  23966  flimsncls  23973  cnpflfi  23986  flimfcls  24013  flimfnfcls  24015